6.5 相似三角形的性质-2020-2021学年九年级数学下册课时同步练（苏科版）

相似三角形的性质 一．选择题（共12小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，，记△ADE的面积为S1，四边形DBCE的面积为S2，则的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】先由DE∥BC判定△ADE∽△ABC，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出含有S1与S2的比例式，化简即可得出答案． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵， ∴， ∴， ∴9S1＝4S1+4S2， ∴5S1＝4S2， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 2．下列结论正确的个数是（　　） （1）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是六边形； （2）如果一个三角形的三边长分别为6、8、10，则最长边上的中线长为5； （3）若△ABC∽△DEF，相似比为1：4，则S△ABC：S△DEF＝1：4； （4）若等腰三角形一个角为80°，则底角为80°或50°． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】（1）由多边形内角和定理与外角和定理，利用方程，即可求得答案； （2）由一个三角形的三边长分别为6、8、10，可得此三角形是直角三角形，继而求得答案； （3）由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案； （4）分别从80°是顶角与底角去分析求解即可求得答案． 【解答】解：（1）设这个多边形是n边形， ∵一个多边形的内角和是外角和的3倍， ∴（n﹣2）×180＝360×3， 解得：n＝8， ∴这个多边形是八边形； 故错误； （2）∵三角形的三边长分别为6、8、10， ∴此三角形是直角三角形， ∴最长边上的中线长为5； 故正确； （3）∵△ABC∽△DEF，相似比为1：4， ∴S△ABC：S△DEF＝1：16； 故错误； （4）若80°为底角，则底角为80°， 若80°为顶角，则底角为50°， ∴底角为80°或50°． 故正确． 故选：B． 【点评】此题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理、直角三角形斜边的中线的性质以及多边形的内角和与外角和．此题难度不大，注意熟记定理是解此题的关键． 3．如图，在平行四边形中，E、F分别是AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，下列结论：①BE＝DF；②AG＝GH＝HC；③EGDH；④S△ABE＝3S△AGE．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质对边平行且相等，得到AD与BC平行且相等，又E和F分别为AD与BC的中点，利用等量代换得到ED与BF相等，且平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到DEFB为平行四边形，从而得到对边DF与BE相等，选项①正确；由DF与EB平行得到两对同位角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形AEG与三角形ADH相似，且相似比为1：2，故得到G为AH中点，同理得到H为CG中点，即可得到AG＝GH＝HC，选项②正确；从而得到EG为三角形ADH的中位线，根据中位线性质得到EG等于DH的一半，选项③正确；由AD与BC平行得到两对内错角相等，从而得到三角形AEG与三角形GCB相似，且相似比为1：2，得到EG与GB之比为1：2，根据三角形AEG与三角形AGB底边分别为EG与GB时，高相同，故两三角形面积之比为1：2，从而得到S△ABE＝3S△AGE．故选项④正确，从而得到正确选项的个数为4个． 【解答】解：如右图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，BE＝DF，选项①正确； ∵E、F是AD、BC中点， ∴DEAD，BFBC， ∴DE＝BF， ∵DE∥BF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴BE∥DF，BE＝DF， ∴∠AEG＝∠ADH，∠AGE＝∠AHD， ∴△AEG∽△ADH，又AE：AD＝1：2， ∴AG：AH＝1：2，即G为AH中点， ∴EG为△ADH的中位线， ∴EGDH，选项③正确； 同理H为CG的中点，HF也为△BCG的中位线， ∴AG＝GH＝CH，选项②正确； 又AD∥BC， ∴∠EAG＝∠BCG，∠AEG＝∠GBC， ∴△AEG∽△BCG，又AE：BC＝1：2， ∴EG：GB＝1：2， ∵△AEG和△AGB分别以EG和GB为底边时，高相同， ∴两三角形的面积之比也等于1：2，即2S△ABG＝S△AGB， ∴S△ABE＝3S△AGE，选项④正确， 则正确的结论有4个． 故选：D． 【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及三角形的中位线定理，本题属于结论开放型题，由已知一定的条件，需探求问题的结论，解题的方法也多样化，解决此类问题往往采用执因索果，逐步推理的方法． 4．如图，D、E分别是△ABC的边