勾股定理专训15 勾股定理的实际应用—考点提升-2020-2021学年八年级数学上册计算力提升训练（苏科版）

勾股定理专训15 勾股定理的实际应用—考点提升 1．如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子底部B到墙底端的距离为0.7米，考虑爬梯子的稳定性，现要将梯子顶部A沿墙下移0.4米到A′处，问梯子底部B将外移多少米？ 【答案】0.8米． 【分析】在Rt△ABC中，运用勾股定理求出AC，根据AA′的长可得A′C的长，在Rt△A′B′C中再次运用勾股定理求出B′C，B′C的长减去BC的长即为底部B外移的距离． 【详解】解：在Rt△ABC中，∵AB=2.5米，BC=0.7米， ∴ 米， 又∵AA′=0.4米， ∴A′C=2.4-0.4=2米， 在Rt△A′B′C中， 米， 则BB′=CB′-CB=1.5-0.7=0.8米． 故：梯子底部B外移0.8米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用．正确运用勾股定理是解题关键． 2．有一个小朋友拿着一根竹竿通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜入就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺，请求竹竿的长度． 【答案】竹竿的长度为8.5尺． 【分析】设竹竿的长度为x尺，根据勾股定理即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设竹竿的长度为x尺，由题意知 (x-1)2+42=x2 整理得2x-17=0 解得x=8.5 答：竹竿的长度为8.5尺． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用及一元一次方程的应用．根据勾股定理列出一元一次方程是解题的关键． 3．中国机器人创意大赛于2014年7月15日在哈尔滨开幕．如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A处先往东走4m，又往北走1.5m，遇到障碍后又往西走2m，再转向北走4.5m处往东一拐，仅走0.5m就到达了B．问机器人从点A到点B之间的距离是多少？ 【答案】 【分析】过点B作BC AD于C，可以计算出AC、BC的长度，在直角△ABC中根据勾股定理即可计算AB． 【解析】过点B作BC AD于C， 所以AC=4﹣2+0．5=2．5m，BC=4．5+1．5=6m， 在直角△ABC中，AB为斜边，则 m, 答：机器人从点A到点B之间的距离是 m． 考点：勾股定理． 4．如图，有两棵树 和 米， 米，两树之间的距离 米，一只鸟从 处飞到 处，则小鸟至少飞行多少米? 【答案】小鸟至少飞行 米． 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】连接 ， 作 于 ， 则 (米) 米． (米) 即小鸟至少飞行 米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 5．由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度． 【答案】19米 【分析】首先构造直角三角形，进而求出BD的长，进而求出AC的长，即可得出答案． 【详解】解：如图所示：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D， 由题意可得：BC＝13m，DC＝12m， 故BD＝ ＝5（m）， 即AD＝9m， 则 故AC+AB＝15+4＝19（m）， 答：树原来的高度19米． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，得出BD的长是解题关键． 6．（古代数学问题）印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”，该问题是：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；“渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题. 【答案】水深3.75尺． 【分析】先根据题意构造出直角三角形（即荷花的折断与不断时恰好构成直角三角形），再根据已知条件求解． 【详解】解：设水深x尺，则荷花茎的长度为x+0.5， 根据勾股定理得：（x+0.5）2=x2+4 解得：x=3.75． 答：湖水深3.75尺． 【点睛】本题的关键是读懂题意，找出题中各个量之间的关系，建立等式进行求解． 7．甲、乙两船同时从港口 出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东 方向航行，乙船沿南偏东 向航行，2小时后，甲船到达 岛，乙船到达 岛，若 ， 两岛相距100海里，问乙船的速度是每小时多少海里？ 【答案】40 【分析】根据已知判定∠CAB为直角，根据路程公式求得AC的长．再根据勾股定理求得AB的长，从而根据公式求得其速度． 【详解】解：如图， ∵甲的速度是30海里/时，时间是2小时， ∴AC=60海里． ∵∠EAC=35°，∠FAB=55°， ∴∠CAB=90°． ∵BC=100海里， ∴ 海里． ∵乙船也用2小时， ∴乙船的速度为80÷2=40海里/时． 【点睛】此题考查