专题05 帮你解决与指数函数有关的单调性、奇偶性、值域等问题-2020-2021学年高中数学之指数函数与对数函数解题技法全指导

帮你解决与指数函数有关的单调性、奇偶性、值域等问题 与指数函数有关的单调性、奇偶性、值域等问题是第二章的重要题型，现结合实例归纳总结如下： 例1．已知函数f(x)＝a－： (1)求证：无论a为何实数f(x)总是增函数； (2)确定a的值，使f(x)为奇函数； (3)当f(x)为奇函数时，求f(x)的值域． 分析：利用定义证明单调性，注意指数函数的单调性；由奇偶性求参数值时注意将转化为。 解：(1)证明　f(x)的定义域为R，设x1，x2∈R且x1＜x2. 则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝， ∵x1＜x2，∴＜0，＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 因此不论a为何实数f(x)总是增函数． (2)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－＝－a＋，解得a＝， ∴f(x)＝－. (3)由(2)知f(x)＝－，∵2x＋1＞1，∴0＜＜1，∴－＜－＜， ∴f(x)的值域为(－，)． 点评：由奇偶性求参数值时也可用。 变式1.已知. ⑴求证: ; ⑵求证: 在定义域内是增函数; ⑶求的值域. 解：.⑴证明: . ⑵证明: ,令,, 则 ,即, 所以在R上是增函数. ⑶解:令,则,解得. 所以的值域是. 变式2.已知函数。 (1)判断函数的奇偶性； (2)证明是区间(-∞，+∞)上的增函数； (3)求函数的值域． 解：(1) 的定义域为R．又， 所以为奇函数． (2)，在R上递增，在R上递增，所以在R上为增函数；当时，在R上递减，在R上递减，所以在R上为减函数。 总评：对于变式1、变式2的函数解析式可以转化为例1的形式，判断奇偶性时不用转化解析式，判断单调性时最好用分离常数法将解析式转化一下，再用作差比较法比较函数值的大小，求值域时可用分离常数法，也可用反表示法。 小试牛刀 1.已知，且，。 ⑴判断的奇偶性并加以证明； ⑵判断的单调性并用定义加以证明； ⑶当的定义域为时，解关于m的不等式。 2.已知指数函数的图象过点，函数是定义域为R的奇函数。 ⑴求实数m的值； ⑵证明函数为减函数； ⑶若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围。 ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 帮你解决与指数函数有关的单调性、奇偶性、值域等问题 与指数函数有关的单调性、奇偶性、值域等问题是第二章的重要题型，现结合实例归纳总结如下： 例1．已知函数f(x)＝a－： (1)求证：无论a为何实数f(x)总是增函数； (2)确定a的值，使f(x)为奇函数； (3)当f(x)为奇函数时，求f(x)的值域． 分析：利用定义证明单调性，注意指数函数的单调性；由奇偶性求参数值时注意将转化为。 解：(1)证明　f(x)的定义域为R，设x1，x2∈R且x1＜x2. 则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝， ∵x1＜x2，∴＜0，＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 因此不论a为何实数f(x)总是增函数． (2)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－＝－a＋，解得a＝， ∴f(x)＝－. (3)由(2)知f(x)＝－，∵2x＋1＞1，∴0＜＜1，∴－＜－＜， ∴f(x)的值域为(－，)． 点评：由奇偶性求参数值时也可用。 变式1.已知. ⑴求证: ; ⑵求证: 在定义域内是增函数; ⑶求的值域. 解：.⑴证明: . ⑵证明: ,令,, 则 ,即, 所以在R上是增函数. ⑶解:令,则,解得. 所以的值域是. 变式2.已知函数。 (1)判断函数的奇偶性； (2)证明是区间(-∞，+∞)上的增函数； (3)求函数的值域． 解：(1) 的定义域为R．又， 所以为奇函数． (2)，在R上递增，在R上递增，所以在R上为增函数；当时，在R上递减，在R上递减，所以在R上为减函数。 总评：对于变式1、变式2的函数解析式可以转化为例1的形式，判断奇偶性时不用转化解析式，判断单调性时最好用分离常数法将解析式转化一下，再用作差比较法比较函数值的大小，求值域时可用分离常数法，也可用反表示法。 小试牛刀 1.已知，且，。 ⑴判断的奇偶性并加以证明； ⑵判断的单调性并用定义加以证明； ⑶当的定义域为时，解关于m的不等式。 2.已知指数函数的图象过点，函数是定义域为R的奇函数。 ⑴求实数m的值； ⑵证明函数为减函数； ⑶若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围。 小试牛刀 答案 1.解：⑴的定义域为R。 。所以为奇函数。 ⑵任取，则 。 当时，，又，，即，又， ，即。所以为增函数。 当时，，又，，即，又， ，即。所以为增函数。 综上，为增函数。 ⑶，，。又为上的增函数，， 。故不等式的解集为。 2.解：⑴设，其图象过点，，即。，。因为为奇函数，， 即，， ，。 。 ⑵。任取，则 。∵， ，