专题04 帮你走出指数函数中的误区-2020-2021学年高中数学之指数函数与对数函数解题技法全指导

帮你走出指数函数中的误区 在学习指数函数的过程中，往往忽视中a的范围，以及指数函数的性质，从而导致解题错误。以下结合实例加以分析。 一、忽视底数大于0且不等于1的前提条件 例1.函数是指数函数，求a的值。 错解：因为函数是指数函数，根据指数函数的定义有，解得或。 错因分析：忽视了指数函数对底数大于0且不等于1的要求。 正解：因为函数是指数函数，根据指数函数的定义有，解得或。又因为且，所以。 二、忽视对底数的讨论 例2.求函数的定义域。 错解：由已知得，。故函数的定义域为。 错因分析：这种解法忽视了底数a的取值对函数单调性的影响，应按底数取值范围进行讨论。 正解：由已知得，。当时，；当时， 。所以当时，定义域为，当时，定义域为 。 三、忽视指数函数的值域 例3.求函数的值域。 错解：令，所以函数的值域为。 错因分析：这种解法忽视了指数函数的值域为，从而导致错解。 正解：令，当时，函数是增函数， 在上是增函数，，所以函数的值域为。 小试牛刀 1. 函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则(　　) A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a＞0且a≠1 2．若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________． 3．若方程x＋x－1＋a＝0有正数解，则实数a的取值范围是________． 4．函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)在区间[－1,1]上有最大值14，则a的值是________． 5．如果a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围． 6．已知函数f(x)＝ax在x∈[－2,2]上恒有f(x)<2，求a的取值范围． 7.求函数的值域。 8.求函数的值域． 9.如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，且a≠1)在区间[－1,1]上有最大值14，试求a的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 帮你走出指数函数中的误区 在学习指数函数的过程中，往往忽视中a的范围，以及指数函数的性质，从而导致解题错误。以下结合实例加以分析。 一、忽视底数大于0且不等于1的前提条件 例1.函数是指数函数，求a的值。 错解：因为函数是指数函数，根据指数函数的定义有，解得或。 错因分析：忽视了指数函数对底数大于0且不等于1的要求。 正解：因为函数是指数函数，根据指数函数的定义有，解得或。又因为且，所以。 二、忽视对底数的讨论 例2.求函数的定义域。 错解：由已知得，。故函数的定义域为。 错因分析：这种解法忽视了底数a的取值对函数单调性的影响，应按底数取值范围进行讨论。 正解：由已知得，。当时，；当时， 。所以当时，定义域为，当时，定义域为 。 三、忽视指数函数的值域 例3.求函数的值域。 错解：令，所以函数的值域为。 错因分析：这种解法忽视了指数函数的值域为，从而导致错解。 正解：令，当时，函数是增函数， 在上是增函数，，所以函数的值域为。 小试牛刀 1. 函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则(　　) A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a＞0且a≠1 2．若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________． 3．若方程x＋x－1＋a＝0有正数解，则实数a的取值范围是________． 4．函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)在区间[－1,1]上有最大值14，则a的值是________． 5．如果a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围． 6．已知函数f(x)＝ax在x∈[－2,2]上恒有f(x)<2，求a的取值范围． 7.求函数的值域。 8.求函数的值域． 9.如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，且a≠1)在区间[－1,1]上有最大值14，试求a的值． 小试牛刀 答案 1.C 由指数函数定义知所以解得a＝3． 2. 由题意知或⇒a＝， 3．(－3,0)　解析：令x＝t，∵方程有正根，∴t∈(0,1)．方程转化为t2＋2t＋a＝0， ∴a＝1－(t＋1)2.∵t∈(0,1)，∴a∈(－3,0)． 4．3或 令t＝ax，则t>0，函数y＝a2x＋2ax－1可化为y＝(t＋1)2－2. 当a>1时，∵x∈[－1,1]，∴≤ax≤a，即≤t≤a，∴当t＝a时，ymax＝(a＋1)2－2＝14， 解得a＝3或a＝－5(舍去)；当0<a<1时，∵x∈[－1,1]，∴a≤ax≤，即a≤t≤，∴当t＝时， ymax＝(＋1)2－2＝14，解得a＝或a＝－(舍去)．故a的值是3或. 5.解：①当a>1时，∵a－5x>ax＋7，∴－5x>x＋7，解得x<－.②当0<a<1时，∵a－5x>ax＋7，∴－5x