专题03 从三方面注意真数大于零-2020-2021学年高中数学之指数函数与对数函数解题技法全指导

从三方面注意真数大于零 与对数函数有关的题目，比与指数函数有关的题目更容易出现失误，很大的原因是对数要求真数大于零。为了减少失误，我们可以从以下三个方面多加注意。 一、解对数方程 例1.解方程。 错解：，， ，， 或，或。 错因分析：忽视了对数的真数大于0。当时，对数 无意义。 正解：解出或后验证，舍去，方程的解只有。 变式. 方程log2x＋log2(x－1)＝1的解集为M，方程22x＋1－9·2x＋4＝0的解集为N，那么M与N的关系是(　　) A．M＝N B．MN C．MN D．M∩N＝∅ 错解：A 由log2x＋log2(x－1)＝1，得x(x－1)＝2，解得x＝－1,或x＝2， 故M＝；由22x＋1－9·2x＋4＝0，得2·(2x)2－9·2x＋4＝0，解得2x＝4或2x＝，即x＝2或x＝－1，故N＝{2，－1}，因此有M N. 正解：B　 由log2x＋log2(x－1)＝1，得x(x－1)＝2，解得x＝－1(舍)或x＝2，故M＝{2}； 由22x＋1－9·2x＋4＝0，得2·(2x)2－9·2x＋4＝0，解得2x＝4或2x＝，即x＝2或x＝－1， 故N＝{2，－1}，因此有MN. 二、解对数不等式 例2.求下列函数y＝的定义域． 错解：，所以函数的定义域为 。 正解：由得所以＜x≤1，所以函数的定义域为 {x|＜x≤1}． 变式.解不等式 loga(3＋2x)＞loga(3－2x)． 错解：当a＞1时，有，原不等式的解集为。 当0＜a＜1时，有，原不等式的解集为。 综上所述，当a＞1时，原不等式的解集为； 当0＜a＜1时，原不等式的解集为。 正解：当a＞1时，有原不等式的解集为(0，)． 当0＜a＜1时，有原不等式的解集为(－，0)． 综上所述，当a＞1时，原不等式的解集为(0，)； 当0＜a＜1时，原不等式的解集为(－，0)． 三、求单调区间 例3. 已知函数f(x)＝loga(x2＋2x－3)，若f(2)＞0，则此函数的单调递增区间是 (　　) A． B．(1，＋∞)∪(－∞－3) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 错解：A ∵f(2)＝loga5＞0＝loga1，∴a＞1. 设u＝x2＋2x－3，则此函数在上为增函数．又∵y＝logau(a＞1)也为增函数，∴函数f(x)的单调递增区间是，故选A. 正解：D ∵f(2)＝loga5＞0＝loga1，∴a＞1.由x2＋2x－3＞0，得函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．设u＝x2＋2x－3，则此函数在(1，＋∞)上为增函数．又∵y＝logau(a＞1)在(1，＋∞)上也为增函数，∴函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，故选D. 变式．函数y＝的单调递增区间为______________． 错解： 令u＝x2－3x＋2，则y＝是减函数，所以u＝x2－3x＋2的减区间为函数y＝的增区间，由于二次函数u＝x2－3x＋2图象的对称轴为x＝，所以为函数y的递增区间． 正解：(－∞，1) 函数的定义域为{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x>2或x<1}，令u＝x2－3x＋2，则y＝是减函数，所以u＝x2－3x＋2的减区间为函数y＝的增区间，由于二次函数u＝x2－3x＋2图象的对称轴为x＝，所以(－∞，1)为函数y的递增区间． 例4．若函数f(x)＝(x2＋ax＋6)在(3，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是 (　　) A．[－5，＋∞) B．[－6，＋∞) C．(－∞，－6] D．(－∞，－5] 错解：B ∵f(x)在(3，＋∞)单调递减，∴。故选B 正解：A ∵f(x)在(3，＋∞)单调递减，∴∴a≥－5. 故选A。 变式.已知f(x)＝loga(3－ax)在x∈[0,2]上单调递减，求a的取值范围． 错解：由a>0可知u＝3－ax为减函数，依题意则有a>1.故a的取值范围是a>1。 正解：由a>0可知u＝3－ax为减函数，依题意则有a>1.又u＝3－ax在[0,2]上应满足u>0，故3－2a>0，即a<.综上可得，a的取值范围是1<a<. 小试牛刀 1. 函数的递减区间是（ ） A． B． C． D． 2. 定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上递增，f()＝0，则满足>0的x的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(0，)∪(2，＋∞) C．(0，)∪(，2) D．(0，) 3．已知函数f(x)＝loga(6－ax)(a＞0且a≠1)在[0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(1，3) C．(1，3] D．[3，＋∞) 4．已知函数y＝f(x)的图象与g