专题6.1-6.2 反比例函数的定义、图象和性质（讲练）-简单数学之2020-2021学年九年级上册同步讲练（北师大版）

专题6.1-6.2 反比例函数的定义、图象和性质 典例体系（本专题共45题35页） 一、知识点 1.反比例函数的概念：一般地，（k为常数，k≠0）叫做反比例函数，即y是x的反比例函数。 （x为自变量，y为因变量，其中x不能为零） 2.反比例函数的等价形式：y是x的反比例函数 ←→ ←→ ←→ ←→ 变量y与x成反比例，比例系数为k. 3.判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照反比例函数的定义判断；②看两个变量的乘积是否为定值<即>。（通常第二种方法更适用） 4.反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线 反比例函数的画法的注意事项：①反比例函数的图象不是直线，所“两点法”是不能画的； ②选取的点越多画的图越准确； ③画图注意其美观性（对称性、延伸特征）。 5.反比例函数性质： ①当k>0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； ②当k<0时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大； ③双曲线的两支会无限接近坐标轴（x轴和y轴），但不会与坐标轴相交。 6.反比例函数图象的几何特征:(如图4所示) 点P(x,y)在双曲线上都有 P B A O P B A O 图4 二、考点点拨与训练 考点1：反比例函数的定义及应用 典例：（2019·湖南澧县·初三月考）已知函数y = y1 +y2，y1与x成反比例，y2与x-2成正比例，且当x =1时，y = -1,当x = 3时，y = 3. 求y关于x的函数解析式. 【答案】 【解析】解：∵y=y1+y2，其中y1与x成反比例，y2与（x-2）成正比例， ∴设出y1=，y2=k2（x-2），（k1≠0，k2≠0），则y=+k2（x-2）， 把当x=1时，y=-1；x=3时，y=3代入得： 解得： . 方法或规律点拨 本题考查待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法． 巩固练习 1．（2020·青浦区实验中学初二期中）已知，与成正比例，与成反比例，当时，；时，．求：关于的函数解析式 【答案】 【解析】解：设，， 则， 根据题意得：， 解得：， 则函数解析式是：. 2．（2020·全国初三课时练习）已知函数 （1）如果y是x的正比例函数，求m的值； （2）如果y是x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式． 【答案】（1）m=2或m=﹣1（2）y=3x﹣1 【解析】（1）由y=（m2+2m）是正比例函数，得 m2﹣m﹣1=1且m2+2m≠0， 解得m=2或m=﹣1； （2）由y=（m2+2m）是反比例函数，得 m2﹣m﹣1=﹣1且m2+2m≠0， 解得m=1． 故y与x的函数关系式y=3x﹣1 ． 3．（2020·芜湖市第二中学初三期末）已知函数解析式为y=(m-2) （1）若函数为正比例函数，试说明函数y随x增大而减小 （2）若函数为二次函数，写出函数解析式，并写出开口方向 （3）若函数为反比例函数，写出函数解析式，并说明函数在第几象限 【答案】（1）详见解析；（2）y=-4x2，开口向下；（3）y=-x-1或y=-3x-1，函数在二四象限 【解析】 解：(1)若为正比例函数则 -2=1，m=±， ∴m-2＜0，函数y随x增大而减小； (2) 若函数为二次函数，-2=2且m-2≠0， ∴m=-2，函数解析式为y=-4x2，开口向下 （3）若函数为反比例函数，-2=-1， m=±1， m-2＜0， 解析式为y=-x-1或y=-3x-1，函数在二四象限 4．（2020·江西余干·初三零模）已知y=y1+y2，y1与x+1成正比例，y2与x+1成反比例，当x=0时，y=﹣5；当x=2时，y=﹣7． （1）求y与x的函数关系式； （2）当x=5时，求y的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）∵y1与x+1成正比例，y2与x+1成反比例， 设y1=a(x+1)(a≠0)，y2= (b≠0)． ∵y=y1+y2，∴y=a(x+1)+ ， 把(0，﹣5)，(2，﹣7)代入得：， 解得：，∴y=﹣2(x+1)﹣， 答：y与x的函数关系式是y=﹣2(x+1)﹣． （2）当x=5时，y=﹣2(x+1)﹣=﹣2×(5+1)﹣=﹣12 ， 答：当x=5时，y的值是﹣12． 5．（2019·全国初二课时练习）已知，是的反比例函数，是的正比例函数，当时，；当时，. （1）求与的函数关系式； （2）当时，求的值. 【答案】（1）；（2）18. 【解析】（1）设，，则 解得 故. （2）当时， 6．（2018·浙江金东·初二期末）已知：y＝y1﹣y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且x＝1时，y＝3；x＝﹣1时y＝1． (1)求y关于x的函数关系式． (2)求x＝﹣时，y的值． 【答