勾股定理专训13 不同图形中勾股定理的证明方法-2020-2021学年八年级数学上册计算力提升训练（苏科版）

勾股定理专训13 不同图形中勾股定理的证明方法 1．在一浆纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状，请你两种方法表示这个梯形的面积，利用你的表示方法，你能得到勾股定理吗? 【答案】能，见解析 【分析】根据梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列式整理即可得证． 【详解】解：梯形的面积 ， 所以， ， 所以， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，此类题目，利用同一个图形的面积，从整体和局部两个方面列出的算式相等解答是解题的关键． 2．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法如图，火柴盒的一个侧面ABCD（是一个长方形）倒下到AB＇C＇D＇的位置连接AC、AC＇、CC＇，设AB=a ，BC=b，AC=c． （1）试用a，b有关的代数式表示梯形BCC＇D＇的面积； （2）试用a，b，c有关的代数式分别表示△ABC，△AD＇C＇，△AC＇C的面积 （3）由（1）和（2）的结论证明勾股定理： ． 【答案】（1） ；（2） ， ；（3）证明见详解． 【分析】（1）根据梯形面积公式表示梯形 的面积； （2）根据三角形面积公式分别表示 、△ 、△ 的面积； （3）根据 ，列出方程并整理可证． 【详解】解：（1）梯形 的面积 ； （2） ， 为直角三角形， ， ； （3）由图形可知 ， 则 EMBED Equation.DSMT4 ． 因此， ． 【点睛】本题考查了代数式，三角形的面积和勾股定理的证明，熟悉相关性质并能结合图形进行求解是解题的关键． 3．如图，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成了一个梯形．用不同的方法计算梯形的面积，可以得到一个等式：a2+b2＝c2． （1）请用两种方法计算梯形的面积，并写出得到等式a2+b2＝c2的过程． （2）如果满足等式a2+b2＝c2的a、b、c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数．已知m、n是正整数且m＞n，证明2mn、m2﹣n2、m2+n2是勾股数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求； （2）计算其中两个式子的平方和，正好等于另一个式子的平方，满足a2+b2＝c2，可得结论． 【详解】解：（1）根据题意得：S＝ （a+b）（a+b），S＝ ab+ ab+ c2， ∴ （a+b）（a+b）＝ ab+ ab+ c2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2， 整理得：a2+b2＝c2； （2）证明：∵（2mn）2+（m2﹣n2）2＝4m2n2+m4﹣2m2n2+n4＝m4+2m2n2+n4＝（m2+n2）2， ∵m、n是正整数且m＞n， ∴2mn、m2﹣n2、m2+n2是勾股数． 【点睛】本题考查了梯形和三角形的面积，勾股数的定义和证明，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 4．阅读下面的材料:勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形． 由图1可以得到（a+b）2=4× ab+c2 整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2． 所以a2+b2=c2． 如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述方法证明勾股定理． 【答案】见解析 【分析】直接利用图形面积得出等式，进而整理得出答案． 【详解】解：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4× ab+（b-a）2， ∴c2=4× ab+（b-a）2， 整理，得2ab+b2-2ab+a2=c2， ∴c2=a2+b2． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键． 5．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小明利用图①证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB=90°，求证： 证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a，FC=DE=b， ∵ 请参照上述证法，利用图②完成下面的证明：将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB=90°．求证： 【答案】见解析 【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，用两种方法表示出 ，两者相等，整理即可得证． 【详解】证明：如图，连接BD，过点B作DE边上的高BF，可得BF=b-a ∵ ， 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出 是解题的关键． 6．（1）用不同的方法计算如图中阴影部分的面积得到的等式： ； （