勾股定理专训14 勾股逆定理的运用-2020-2021学年八年级数学上册计算力提升训练（苏科版）

勾股定理专训14 勾股逆定理的运用 1．为了响应政府提出的“绿色长垣，文明长垣”的号召，某小区决定开始绿化，要在一块四边形ABCD空地上种植草皮．如图，经测量∠B=90º，AB=6米，BC=8米，CD=24米，AD=26米． （1）求AC的长． （2）判断△ACD的形状，并证明． （3）若每平方米草皮需要300元，问需要投入多少元？ 【答案】（1）AC=10米；（2）△ACD是直角三角形，证明见详解；（3）需要投入43200元． 【分析】（1）根据题意及勾股定理可直接进行求解； （2）由（1）及题意可根据勾股定理逆定理进行求证即可； （3）先求出四边形ABCD的面积，然后进行列式求解即可． 【详解】解：（1）∵∠B=90º，AB=6米，BC=8米， ∴在Rt△ABC中， 米， 即AC的长为10米； （2）△ACD是直角三角形，理由如下： 由（1）得AC=10米， ∵CD=24米，AD=26米， ∴ ， ∴ ， ∴△ACD是直角三角形； （3）由（1）（2）及题意得： （平方米）， ∴ （元）； 答：需投入43200元． 【点睛】本题主要考查勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理的应用是解题的关键． 2．如图，在 中， 是 上的一点，若 ， ， ， ，求 的面积． 【答案】84 【分析】先根据 ， ， ，利用勾股定理的逆定理求证 是直角三角形，再利用勾股定理求出 的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解： ， 是直角三角形， ， 在 中， ， ， ． 因此 的面积为84． 故答案为84． 【点睛】此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证 是直角三角形． 3．如图，已知CD=3cm，AD=4cm，∠ADC=90°，BC=12cm，AB=13cm，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】利用勾股定理可求出AC的长，根据△ABC的三边关系可得△ABC是直角三角形，根据三角形的面积公式可求出△ABC与△ACD的面积，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：由勾股定理得AC= = ， ∵BC=12cm，AB=13cm， ∴AC2+BC2=52+122=132=AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90° ∴阴影部分的面积=S△ABC-S△ACD= BC•AC- AD•CD = ×12×5- ×4×3 =30-6 =24(cm2) 【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理．得出△ABC是直角三角形是解题关键． 4．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，如果CD＝6，AD＝9，BD＝4，那么△ABC是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】是，理由详见解析 【分析】利用勾股定理计算出AC2、CB2，然后利用勾股定理逆定理证明结论即可． 【详解】∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠CDB＝90° ∵CD＝6，AD＝9，BD＝4 ∴AC2＝CD2+AD2＝36+81＝117 CB2＝CD2+BD2＝36+16＝52 ∵AD＝9，BD＝4 ∴AB＝AD+BD=13 ∴AC2+BC2＝169＝AB2 ∴∠ACB＝90° ∴△ABC是直角三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形勾股定理和勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握直角三角形勾股定理和勾股定理逆定理的性质并计算，从而完成求解． 5．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC、AB于点D、E. (1)求证：△ABC为直角三角形． (2)求AE的长． 【答案】(1)见解析；(2) AE的长是 . 【分析】（1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形可得△ABC是直角三角形； （2）根据线段垂直平分线的性质可得BE=CE，设AE=x，则EC=4-x，根据勾股定理可得x2+32=（4-x）2，再解即可． 【详解】（1）证明：∵△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5， 又∵42+32=52， 即AB2+AC2=BC2， ∴△ABC是直角三角形； （2）证明：连接CE．  ∵DE是BC的垂直平分线， ∴EC=EB， 设AE=x，则EC=4-x． ∴x2+32=（4-x）2． 解之得x= ，即AE的长是 ． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 6．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米1