八年级动点专题3：直角三角形中的动点问题

八年级动点专题3：直角三角形中的动点问题 动点题是近年来中考的一个热点问题也是难点问题，而因动点产生的直角三角形存在性问题是这类题目考查的重点. 解这类题目要掌握转化、分类讨论、数形结合的数学思想方法。 基本构图： 【典型例题】1.如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5 cm， BC=12 cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts． （1）PC=___cm；(用含t的式子表示) （2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？． （3）如图2，当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得某时刻△ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 【方法导引】 （1）根据P点的运动速度可得BP的长，再利用BC的长减去BP的长即可得到PC的长； （2）先根据三角形全等的条件得出当BP=CP，列方程求解即得； （3）先分两种情况：当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ；或当BA=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP，然后分别列方程计算出t的值，进而计算出v的值． 【解析】（1）当点P以2cm/s的速度沿BC向点C运动时间为ts时 ∵ ∴ 故答案为： （2）∵ ∴ ∴ 解得． （3）存在，理由如下： ①当BP=CQ ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ， ∴PC=AB=5∴BP=BC-PC=12-5=7 ∵∴2t=7解得t=3.5 ∴CQ=BP=7，则3.5v=7，解得． ②当，时， ∵ ∴ ∵∴ 解得 ∴ ∵ ∴ 解得． 综上所述，当或时，与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等． 2. 如图1-1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5m，AC＝3m，动点P从点B出发沿射线BC以1m/s的速度移动，设运动的时间为t s. 图1-1 (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值． 【答案】（1）4m；（2）见解析 【解析】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝5m，AC＝3m[来源:Zxxk.Com] 在Rt△ABC中，由勾股定理得： ∴BC=4m. （2）由题意可知，∠ABP≠90°，分两种情况讨论： ①当∠APB=90°时，此时P点与C点重合，如图1-2所示. 图1-2 由（1）知BP=4，所以t=4 s. ②当∠BAP=90°时，如图1-3所示. 图1-3 由题意得：BP=t，CP=t－4 在Rt△ABP中，由勾股定理得： AP2=BP2－AB2 在Rt△ACP中，由勾股定理得： AP2=AC2+CP2 所以BP2－AB2=AC2+CP2 即： 解得： 综上所述，当△ABP为直角三角形时，t=4或. 3.已知点是等腰直角三角形斜边上的中点，，是上一点，连结． （1）如图1，若点在线段上，过点作，垂足为，交于点，求证：； （2）如图2，若点在延长线上，，垂足为，交的延长线于点，其它条件不变，则结论“”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【方法导引】 （1）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定得出Rt△BOE≌Rt△AOF，进而证明即可． （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定得出Rt△BOE≌Rt△AOF，进而解答即可． 【解析】 （1）证明：∵三角形ABC是等腰直角三角形，AB=BC， ∴∠BAC=∠ACB=45° 又点O是AC边上的中点， ∴∠BOE=∠AOF=90°，∠ABO=∠CBO=45° ∴∠BAC=∠ABO， ∴OB=OA， 又∵AM⊥BE， ∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE， ∴∠MEA=∠AFO， ∴Rt△BOE≌Rt△AOF， ∴OE=OF； （2）OE=OF成立； ∵三角形ABC是等腰直角三角形，AB=BC， ∴∠BAC=∠ACB=45° 又点O是AC边上的中点， ∴∠BOE=∠AOF=90°，∠ABO=∠CBO=45° ∴∠BAC=∠ABO， ∴OB=OA， 又∵AM⊥BE， ∴∠F+∠MBF=90°=∠B+∠OBE， 又∵∠MBF=∠OBE， ∴∠F=∠E， ∴Rt△BOE≌Rt△AOF， ∴OE=OF 【素养提升】1. 如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AB∥DC，AB=3，DC=4，AD=7. 若点P是线段AD上一动点，当AP为何值时，△BCP是直角三角形？ 【解析】解：∵∠D=90°，AB∥DC， ∴∠A=90° 过B作BE⊥CD于E，如图2-2所示. 则四边形ABED为矩形 所以BE=AD=7，DE=AB=3，CE=CD－DE=1 图2-2 在Rt△BCE中，由勾股定理得： BC2=CE2+BE2=50. 因为∠C<90°，P在线段AD上运动，所以当△BCP是直角三角形时，∠BCP