八年级动点专题2：等腰三角形中的动点问题

八年级动点专题2：等腰三角形中的动点问题 【方法导引】探究因动点产生的等腰三角形是中考常见题型。方法1，牢记等腰三角形的基础知识： 等腰三角形的性质：（1）等边对等角；（2）三线合一。 等腰三角形的判定：等角对等边。 而等腰三角形还有一点要特别注意：不确定性！①边的不确定性；②角的不确定性。 方法2；分类讨论思想是动点产生的等腰三角形问题中非常重要的思想方法。当给出等腰三角形的一条边时，我们要确定这条边到底是腰还是底边，同时还要确保三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边。如果边不确定，那么一定要分类讨论！ 当给出等腰三角形的一个角时，也要确定这个角是底角还是顶角。如果题中没有明显说明，那么一定要分类讨论！ 【典型例题】 1.在等边中，点P、Q是BC边上的两个动点（不与点B、C重合），且AP=AQ. （1）如图1，已知，，求的度数； （2）点Q关于直线AC的对称点为M，分别联结AM、PM； ①当点P分别在点Q的左侧和右侧时，依据题意将图2、图3补全（不写画法）； ②小明提出这样的猜想：点P、Q在运动的过程中，始终有PA=PM. 经过小红验证，这个猜想是正确的，请你在①的点P、Q的两种位置关系中选择一种说明理由. 【解析】（1）∵AP=AQ，∴∠APQ=∠AQP，∴∠APB=∠AQC，∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，∴∠BAP=∠CAQ=20°，∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=80°； （2）①如下图2、图3所示；②选择第一种P在Q的左侧；如图2，联结CM，∵AP=AQ，∴∠APQ=∠AQP，∴∠APB=∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BAP=∠CAQ， ∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，∴∠MAC=∠BAP，∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°，∴∠PAM=60°，∵AP=AQ，∴AP=AM，∴△APM是等边三角形，∴AP=PM． 2.如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．A Q C D B P ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 【解析】：（1）①∵秒，∴厘米， ∵厘米，点为的中点，∴厘米． 又∵厘米，∴厘米，∴． 又∵，∴，∴． ②∵， ∴， 又∵，，则， ∴点，点运动的时间秒，∴厘米/秒． （2）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解得秒． ∴点共运动了厘米． ∵，∴点、点在边上相遇，∴经过秒点与点第一次在边3.如图，是等边三角形，为上两点，且，延长至点，使，连接． （1）如图1，当两点重合时，求证：； （2）延长与交于点． ①如图2，求证：； ②如图3，连接，若，则的面积为______________． 【方法导引】 （1）当D、E两点重合时，则AD=CD，然后由等边三角形的性质可得∠CBD的度数，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠F的度数，于是可得∠CBD与∠F的关系，进而可得结论； （2）①过点E作EH∥BC交AB于点H，连接BE，如图4，则易得△AHE是等边三角形，根据等边三角形的性质和已知条件可得EH=CF，∠BHE=∠ECF=120°，BH=EC，于是可根据SAS证明△BHE≌△ECF，可得∠EBH=∠FEC，易证△BAE≌△BCD，可得∠ABE=∠CBD，从而有∠FEC=∠CBD，然后根据三角形的内角和定理可得∠BGE=∠BCD，进而可得结论； ②易得∠BEG=90°，于是可知△BEF是等腰直角三角形，由30°角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质易求得BE和BF的长，过点E作EM⊥BF于点F，过点C作CN⊥EF于点N，如图5，则△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质可依次求出BM、MC、CF、FN、CN、GN的长，进而可得△GCN也是等腰直角三角形，于是有∠BCG=90°，故所求的△BCG的面积=，而BC和CG可得，问题即得解决． 【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°， 当D、E两点重合时，则AD=CD，∴， ∵，∴∠F=∠CDF， ∵∠F+∠CDF=∠ACB=60°，∴∠F=30°， ∴∠CBD=∠F，∴； （2）①∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC， 过点E作EH∥BC交AB于点H