八年级动点专题1：全等三角形中的动点问题

八年级动点专题1：全等三角形中的动点问题 【典型例题】1.如图①，，垂足分别为点，． （1）求的长； （2）将所在直线旋转到的外部，如图②，猜想之间的数量关系，直接写出结论，不需证明； （3）如图③，将图①中的条件改为：在中，三点在同一直线上，并且，其中为任意钝角．猜想之间的数量关系，并证明你的结论． 【方法导引】 (1)本小题只要先证明，得到，，再根据，，易求出BE的值； (2)先证明，得到，，由图②ED=EC+CD，等量代换易得到之间的关系； （３）本题先证明，然后运用“AAS”定理判定，从而得到，再结合图③中线段ED的特点易找到之间的数量关系． 【解析】：(1)∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在与中， ∴ ∴ 又∵， ∴ (2)∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 在与中， ∴ ∴ 又∵ ∴ (3)∵ ∴ ∴ 在与中， ∴ ∴ 又∵ ∴ 2.如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点 B是 y轴正半轴上一动点，点C、D在 x正半轴上． （1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE 是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长_____． （2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接 QD并延长，交 y轴于点 P，当点 C运动到什么位置时，满足 PD＝DC？请求出点C的坐标； （3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在 y轴上运动时，求OP的最小值． 【方法导引】 （1）作∠DCH＝10°，CH 交 BD 的延长线于 H，分别证明△OBD≌△HCD 和△AOB≌△FHC，根据全等三角形的对应边相等解答； （2）证明△CBA≌△QBD，根据全等三角形的性质得到∠BDQ＝∠BAC＝60°，求出 CD，得到答案； （3）以 OA 为对称轴作等边△ADE，连接 EP，并延长 EP 交 x 轴于点 F．证明点 P 在直线 EF 上运动，根据垂线段最短解答． 【解析】 （1）作∠DCH＝10°，CH 交 BD 的延长线于 H， ∵∠BAO＝60°， ∴∠ABO＝30°， ∴AB＝2OA＝6， ∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°， ∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°， ∵BD 是△ABC 的角平分线， ∴∠ABD＝∠CBD＝40°， ∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°， ∴DB＝DC， 在△OBD 和△HCD 中， ∴△OBD≌△HCD（ASA）， ∴OB＝HC， 在△AOB 和△FHC 中， ∴△AOB≌△FHC（ASA）， ∴CF=AB=6， 故答案为6； （2）∵△ABD 和△BCQ 是等边三角形， ∴∠ABD＝∠CBQ＝60°， ∴∠ABC＝∠DBQ， 在△CBA 和△QBD 中， ∴△CBA≌△QBD（SAS）， ∴∠BDQ＝∠BAC＝60°， ∴∠PDO＝60°， ∴PD＝2DO＝6， ∵PD＝DC， ∴DC＝9，即 OC＝OD+CD＝12， ∴点 C的坐标为（12，0）； （3）如图3，以 OA为对称轴作等边△ADE，连接 EP，并延长 EP交 x 轴于点F． 由（2）得，△AEP≌△ADB， ∴∠AEP＝∠ADB＝120°， ∴∠OEF＝60°， ∴OF＝OA＝3， ∴点P在直线 EF上运动，当 OP⊥EF时，OP最小， ∴OP＝OF＝ 则OP的最小值为． 3.已知CD是经过顶点C的一条直线，CA=CB. E、F分别是直线CD上两点（不重合），且. （1）若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题： ①若，，请在图1中补全图形，请写出EF、BE、AF三条线段之间的数量关系并说明理由； ②如图2，若，请添加一个关于关系的条件 ，使①中的结论仍然成立； （2）如图3，若直线CD经过的外部，，EF、BE、AF三条线段数量关系是 （不要求证明）. 【解析】（1）①如图1，可知点E在点F的左侧，，，又，，又BC=AC，，，所以；当点E在点F右侧时，同理可证：. ②时，使①中两个结论仍然成立. （2）. 【素养提升】 1．如图，两根旗杆间相距20米，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆BD的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是__________秒． 【答案】4 2.如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．A Q C D B P ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由