2.1 第2课时 等式性质与不等式性质（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）

第2课时　等式性质与不等式性质 学习目标　1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 知识点一　等式的基本性质 1．如果a＝b，那么b＝a. 2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c. 3．如果a＝b，那么a±c＝b±c. 4．如果a＝b，那么ac＝bc. 5．如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点二　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意[来源:Z,xx,k.Com] 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 思考1　若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？ 答案　a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立． 思考2　若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？ 答案　不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立． 1．若a>b，则a－c>b－c.(　√　) 2．>1⇒a>b.(　×　) 3．a>b⇔ac2>bc2.(　×　) 4．a>b⇔a＋c>b＋c.(　√　) 5．⇔a＋c>b＋d.(　×　) 一、利用不等式的性质判断命题的真假 例1　对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则> C．若a<b<0，则> D．若a>b，>，则a>0，b<0 答案　D 解析　方法一　∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题； 由a>b>0，有ab>0⇒>⇒>，故B为假命题； ⇒>，故C为假命题； ⇒ab<0. ∵a>b，∴a>0且b<0，故D为真命题． 方法二　特殊值排除法． 取c＝0，则ac2＝bc2，故A错． 取a＝2，b＝1，则＝，＝1.有<，故B错． 取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，有<，故C错． (学生) 反思感悟　利用不等式性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质． (2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 跟踪训练1　(多选)若<<0，则下面四个不等式成立的有(　　) A．|a|>|b| B．a<b C．a＋b<ab D．a3>b3 答案　CD 解析　由<<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，A，B均不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，C正确；a3>b3，D正确． 二、利用不等式的性质证明简单的不等式 例2　若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. 证明　∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0. ∴(a－c)2>(b－d)2>0. 两边同乘以，得<. 又e<0，∴>. (教师) 延伸探究 本例条件不变的情况下，求证：>. 证明　方法一　∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又a>b>0，∴a－c>b－d>0， ∴0<<. ∵e<0， ∴>，不等式得证． 方法二　－＝ ＝. ∵a>b>0，c<d<0，∴－c>－d>0. ∴a－c>0，b－d>0，b－a<0，c－d<0. ∴<0， 又∵e<0，∴>0， ∴>. (学生) 反思感悟　利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 跟踪训练2　若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤. 证明　方法一　∵bc－ad≥0，∴bc≥ad， ∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b)． 又bd>0，两边同除以bd得，≤. 方法二　－＝＝， ∵bc－ad≥0， ∴ad－bc≤0， 又bd>0， ∴≤0， 即≤. 三、利用不等式的性质求范围 例3　已知：3<a＋b<4,0<b<1，求下列各式的取值范围． (1)a；(2)a－b；(3). 证明　(1)∵3<a＋b<4， 又∵0<b<1，∴－1<－b<0， ∴2<a＋b＋(－b)<4，即2<a<4. (2)∵0<b<1，∴－1<－b<0. 又∵2<a<4，∴1<a－b<4. (3)∵0<b<1，∴>1，[来源:Z*xx*k.C