2.2 第1课时 基本不等式（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）

§2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 学习目标　1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 知识点　基本不等式 1．基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 思考1　不等式≥ab和≥中等号成立的条件相同吗？ 答案　相同．都是当且仅当a＝b时等号成立． 思考2　“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？ 答案　a＝b⇔＝ab；a＝b>0⇔＝. 1．若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2.(　√　) 2．若a>0，b>0，则ab≤2.(　√　) 3．对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．(　×　) 4．若a≠0，则a＋≥2＝2.(　×　) 一、对基本不等式的理解 例1　(多选)下面四个推导过程正确的有(　　) A．若a，b为正实数，则＋≥2＝2 B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4 C．若x，y∈R，xy<0，则＋＝－≤－2＝－2 D．若a<0，b<0，则≤ab 答案　AC 解析　A中，∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确． B中，∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件， ∴＋a≥2＝4是错误的． C中，由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，－，－均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确； D中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即≥ab，所以D不正确． (学生) 反思感悟　对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面 (1)不等式成立的条件是a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 跟踪训练1　下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x>1，则x＋≥2＝2； ②若x<0，则x＋＝－ ≤－2＝－4； ③若a，b∈R，则＋≥2＝2. 答案　② 解析　①中忽视了基本不等式等号成立的条件， 当x＝，即x＝1时，等号成立， 因为x>1，所以x＋>2； ③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件． 二、利用基本不等式比较大小 例2　(1)如果0<a<b<1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是(　　) A．P>Q>M B．M>P>Q C．Q>M>P D．M>Q>P 答案　B[来源:学科网ZXXK] 解析　∵a>0，b>0，∴≥， 当且仅当a＝b时，等号成立， 又∵0<a<b，∴取不到等号，∴>又因为<， ， 所以>>.故M>P>Q. (2)设a，b为非零实数，给出下列不等式： ①≥ab；②≥2；③≥； ④＋≥2. 其中恒成立的是________．(填序号) 答案　①② 解析　由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确； ＝＝≥＝＝2，可知②正确； 当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1， 右边为＝－，可知③不正确； 当a＝1，b＝－1时，可知④不正确． (学生) 反思感悟　运用基本不等式比较大小的注意点 (1)要灵活运用基本不等式，特别注意其变形． (2)应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. 跟踪训练2　比较大小：________2.(填“>”“<”“≥”或“≤”) 答案　≥ 解析　由题意，得≥1，＝＝＋≥2， 当且仅当＝ .即x＝0时，等号成立． 三、利用基本不等式证明不等式 例3　已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1. 求证：≥8. 证明　因为a，b，c均为正实数，a＋b＋c＝1， 所以－1＝＝≥，[来源:Zxxk.Com] 同理－1≥，－1≥. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得≥··＝8. 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． (教师) 延伸探究 例3的条件不变，求证：＋＋≥9. 证明　＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 反思感悟　利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 跟踪训练3　已知a>0，b>0，且a＋b＝＋，求证：a＋b≥2. 证明　由a>0，b>0，则a