2.2 第2课时 基本不等式的应用（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）

第2课时　基本不等式的应用 学习目标　1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题． 知识点　用基本不等式求最值 用基本不等式≥求最值应注意： (1)x，y是正数． (2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 思考1　利用基本不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？ 答案　利用基本不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等． 思考2　x＋的最小值是2吗？ 答案　只有当x>0时，才有x＋≥2＝2，即x＋的最小值是2；[来源:Z*xx*k.Com] 当x<0时，x＋没有最小值，此时x＋＝－≤－2＝－2， 即当x<0时，x＋的最大值是－2. 1．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为________． 答案　x>2y 解析　因为不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以x－2y>0，即x>2y. 2．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是________． 答案　2 解析　a＋b≥2＝2， 当且仅当a＝b＝时，等号成立． 3．已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是________． 答案　50 解析　∵m2＋n2≥2mn， ∴mn≤＝50. 当且仅当m＝n＝±5时，等号成立． 4．已知0<x<，则y＝x(1－2x)的最大值为________． 答案　 解析　由题意知1－2x>0，则y＝x(1－2x)＝·2x·(1－2x)≤2＝， 当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，等号成立． 一、利用基本不等式求最值 例1　(1)若x<0，求＋3x的最大值； (2)若x>2，求＋x的最小值； (3)已知x>0，y>0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值． 解　(1)因为x<0， 所以＋3x＝－ ≤－2＝－12， 当且仅当－＝－3x，即x＝－2时，等号成立， 所以＋3x的最大值为－12. (2)因为x>2，所以x－2>0， ＋x＝＋x－2＋2≥2＋2＝4， 当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立， 所以＋x的最小值为4. (3)因为x>0，y>0，＋＝1， 所以x＋2y＝(x＋2y)·＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当＝，即x＝12，y＝3时等号成立， 所以x＋2y的最小值为18. 延伸探究 1．若把例1(3)的条件“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．[来源:Z|xx|k.Com] 解　因为x>0，y>0，所以＋＝(x＋2y) ＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当＝，x＋2y＝1，即x＝，y＝时，等号成立，所以＋的最小值为18. 2．若把例1(3)的条件“＋＝1”改为“x＋8y＝xy”，其他条件不变，求x＋2y的最小值． 解　因为x>0，y>0，由x＋8y＝xy，两边同时除以xy， 可得＋＝1， 所以x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋ ≥10＋2＝18， 当且仅当即时，等号成立， 所以当x＝12，y＝3时，x＋2y的最小值为18. (学生) 反思感悟　基本不等式求最值的两种常用方法 (1)拼凑法，拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件． (2)常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． 跟踪训练1　(1)当x>0时，求＋4x的最小值； (2)当x>1时，求2x＋的最小值． 解　(1)∵x>0，∴>0,4x>0. ∴＋4x≥2＝8. 当且仅当＝4x，即x＝时，等号成立， ∴当x>0时，＋4x的最小值为8. (2)2x＋＝2＋2， ∵x>1，∴x－1>0， ∴2x＋≥2×2＋2＝10， 当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立． ∴当x>1时，2x＋的最小值为10. 二、基本不等式的实际应用 例2　2016年11月3日 20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料(kx2＋9)千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克． (1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数； (2)要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求