2.3 第2课时 一元二次不等式的应用（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）

第2课时　一元二次不等式的应用 学习目标　1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义.2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题． 知识点一　简单的分式不等式的解法 分式不等式的解法： 思考　>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？≥0与(x－3)(x＋2)≥0等价吗？ 答案　>0与(x－3)(x＋2)>0等价；≥0与(x－3)(x＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2. 知识点二　一元二次不等式恒成立问题 1．转化为一元二次不等式解集为R的情况，即 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ 2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 知识点三　利用不等式解决实际问题的一般步骤 1．选取合适的字母表示题目中的未知数． 2．由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)． 3．求解所列出的不等式(组)． 4．结合题目的实际意义确定答案． 思考　解一元二次不等式应用题的关键是什么？ 答案　解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解． 1．不等式<0的解集为________． 答案　{x|1<x<2} 解析　原不等式⇔(x－1)(x－2)<0，∴1<x<2. 2．不等式≤1的解集为________． 答案　{x|x≥1或x<0} 解析　∵≤1，∴≥0，∴ ∴x≥1或x<0. 3．若方程x2＋ax＋1＝0的解集是∅，则实数a的取值范围是________． 答案　－2<a<2 解析　由题意可得a2－4<0，所以－2<a<2. 4．对∀x∈R，不等式x2＋2x＋m>0恒成立，则实数m的取值范围是________． 答案　m>1 解析　由题意可得22－4m<0，所以m>1.[来源:Z。xx。k.Com] 一、简单的分式不等式的解法 例1　解下列不等式： (1)<0； (2)≥0； (3)>1. 解　(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0， ∴－1<x<， 故原不等式的解集为. (2)原不等式可化为≤0， ∴∴ 即－<x≤1.[来源:学|科|网] 故原不等式的解集为. (3)原不等式可化为－1>0， ∴>0，>0，则x<－2. 故原不等式的解集为{x|x<－2}． (学生) 反思感悟　分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 跟踪训练1　解下列不等式： (1)≥0；(2)<3. 解　(1)不等式≥0可转化成不等式组 解这个不等式组，可得x≤－1或x>3.即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}． (2)不等式<3可改写为－3<0， 即<0. 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0， 解得－1<x<1. 所以，原不等式的解集为{x|－1<x<1}． 二、不等式的恒成立问题 例2　对∀x∈R，不等式mx2－mx－1<0，求m的取值范围． 解　若m＝0，显然－1<0恒成立； 若m≠0，则⇒解得－4<m<0. 综上，m的取值范围为{m|－4<m≤0}． (教师) 延伸探究 1．在本例中，是否存在m∈R，使得∀x∈R，不等式mx2－mx－1>0，若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由． 解　显然m＝0时不等式不成立； 由题意可得解得m∈∅， 所以不存在m∈R，使得∀x∈R，不等式mx2－mx－1>0.[来源:Z#xx#k.Com] 2．在本例中，把条件“∀x∈R”改为“x∈{x|2≤x≤3}”，其余不变，求m的取值范围． 解　由不等式mx2－mx－1<0得m(x2－x)<1， 因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>0， 所以m(x2－x)<1可化为m<， 因为x2－x＝2－≤6， 所以≥，所以m<. 即m的取值范围是. (学生) 反思感悟　一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号． (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值． 跟踪训练2　若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是________． 答案　{k|－3<k≤1} 解析　当k＝1时，－1<0恒成立；当k≠1时，由题意得解得－3<k<1， 因此实数k的取值范围为{k|－3<k≤1}． 三、一元二次不等式的实际应用 例3　某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税1