4.4.3 不同函数增长的差异（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）

4．4.3　不同函数增长的差异 学习目标　1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.3.能根据具体问题选择合适函数模型． 知识点　三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 y＝a x(a>1) y＝logax (a>1) y＝kx (k>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随x的增大匀速上升 增长速度 y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝logax的增长 增长后果 会存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 思考　在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有logax<xn<ax成立？ 答案　不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，logax<xn<ax成立． 1．当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值(不为0)，则y是x的一次函数．(　√　) 2．函数y＝log2x增长的速度越来越慢．(　√　) 3．不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.(　×　) 4．由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有ax>2x(a>1)．(　×　) 一、几个函数模型增长差异的比较 例1　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　) A．y＝2 020x B．y＝x2 020 C．y＝log2 020x D．y＝2 020x 答案　A 解析　比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快． (2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26[来源:学科网] 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________． 答案　y2 解析　以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化． 反思感悟　常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型[来源:学科网] 线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变． (2)指数函数模型 指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型[来源:学&科&网] 对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．可称为“对数增长”． 跟踪训练1　下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　) A．y＝6x B．y＝log6x C．y＝x2 D．y＝6x 答案　B 解析　D中一次函数的增长速度不变，A，C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意． 二、函数模型的选择问题 例2　某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t,120 t,130 t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？ 解　根据题意可列方程组 解得 所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.① 同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.② 再将x＝4分别代入①式与②式得 f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)， g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t)． 与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好． 反思感悟　建立函数模型应遵循的三个原则 (1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型． (2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确