轴对称专训11 等腰三角形的轴对称—方程思想-2020-2021学年八年级数学上册计算力提升训练（苏科版）

轴对称专训11 等腰三角形的轴对称—方程思想 1．已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB，求∠A的度数. 【答案】∠A=45°. 【分析】设∠EBD＝a，根据等边对等角得出∠A＝∠AED，∠EBD＝∠EDB＝a，∠C＝∠BDC，根据三角形外角性质求出∠A＝∠AED＝2a，∠C＝∠CDB＝∠ABC＝3a，根据三角形内角和定理得出2a＋3a＋3a＝180°，求出a即可． 【详解】解：设∠EBD＝a， ∵AD＝DE＝BE，BD＝BC，AC＝AB， ∴∠A＝∠AED，∠EBD＝∠EDB＝a，∠C＝∠BDC， ∵∠AED＝∠EBD＋∠EDB＝2∠EBD， ∴∠A＝2∠EBD＝2a， ∵∠BDC＝∠A＋∠EBD＝3∠EBD＝3a， ∴∠C＝3∠EBD＝3a， ∵∠A＋∠C＋∠ABC＝180°， ∴2a＋3a＋3a＝180°， ∴a＝22.5°． ∴∠A＝2a＝45°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理、三角形外角的性质；解题的关键是运用“等边对等角”，将已知的等边转化为有关角的关系． 2．如图，等边△ABC的边长为15cm，现有两点M，N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动 （1）点M、N运动几秒后，M，N两点重合？ （2）点M、N运动几秒后，△AMN为等边三角形？ （3）当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M，N运动的时间． 【答案】（1）15秒；（2）5秒；（3）20秒 【分析】（1）由点N运动路程＝点M运动路程+AB间的路程，列出方程求解，捷克得出结论； （2）由等边三角形的性质可得AN＝AM，可列方程求解，即可得出结论； （3）由全等三角形的性质可得CM＝BN，可列方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）设运动t秒，M、N两点重合， 根据题意得：2t﹣t＝15， ∴t＝15， 答：点M，N运动15秒后，M、N两点重合； （2）如图1，设点M、N运动x秒后，△AMN为等边三角形， ∴AN＝AM， 由运动知，AN＝15﹣2x，AM＝x， ∴15﹣2x＝x， 解得：x＝5， ∴点M、N运动5秒后，△AMN是等边三角形； （3）假设存在， 如图2，设M、N运动y秒后，得到以MN为底边的等腰三角形AMN， ∴AM＝AN， ∴∠AMN＝∠ANM， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠C＝∠B＝60°， ∴△ACN≌△ABM（AAS）， ∴CN＝BM， ∴CM＝BN， 由运动知，CM＝y﹣15，BN＝15×3﹣2y， ∴y﹣15＝15×3﹣2y， ∴y＝20， 故点M，N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M，N运动的时间为20秒． 【点睛】此题主要考查等边三角形的性质与证明，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质． 3．用一条长为30 cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果底边长是腰长的一半，求各边长． （2）能围成有一边长为7cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边． 【答案】（1）底长6cm，腰长12cm ；（2）能，另两边都为11.5cm 【分析】(1)可设出底边 ，则可表示出腰长，由条件列出方程，求解即可； (2)分腰长为 和底边长为 ，分别列出方程，求解即可． 【详解】解：(1)设底边长为 ，则腰长 ，由题意得 ， 解得 ， 故 ， 答：各边长为 . (2)能围成。 理由：若腰长 ，设底边长为 ，则 ， 解得 ， 此时三边长 ， ， 此三角形不成立； 若底边长 ，则腰长 ，由题意得 ， 解得 ， 此时三边长 答：其它两边长为 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质, 三角形三边关系. 4．如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AC上的点，∠BAD与∠CDE满足什么条件时AD=AE？写出你的推理过程． 【答案】当∠BAD=2∠CDE时，AD=AE，证明见解析 【分析】若∠BAD=2∠CDE，设∠CDE=x，则∠BAD=2x，根据角之间的关系可求得∠1 =x+∠C=∠2，即AD=AE，所以当∠BAD=2∠CDE，AD=AE 【详解】当∠BAD=2∠CDE时，AD=AE， 证明：若∠BAD=2∠CDE，设∠CDE=x，则∠BAD=2x， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C ∵∠2=∠CDE+∠C，∠ADC=∠BAD+∠B ∴∠2= x+∠C，∠1+ x=2 x+∠B=2x+∠C ∴∠1 =x+∠C=∠2 ∴ AD=AE 5．等腰三角形的周长为21cm． （1）若已知腰长是底边长的3倍，求各边长； （2）若已知一边长为5cm，求其他两边长．