轴对称专训12 等腰三角形中运用“三线合一”求解与证明-2020-2021学年八年级数学上册计算力提升训练（苏科版）

轴对称专训12 等腰三角形中运用“三线合一”求解与证明 ．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F． （1）若∠C＝38°，求∠BAD的度数； （2）求证：FB＝FE． 【答案】（1）52°；（2）见解析 【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB=90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题． （2）只要证明∠FBE=∠FEB即可解决问题． 【详解】（1）∵AB=AC， ∴∠C=∠ABC， ∵∠C=38°， ∴∠ABC=38°， ∵BD=CD，AB=AC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∴∠BAD=90°-38°=52°； （2）∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE= ∠ABC， ∵EF∥BC， ∴∠FEB=∠CBE， ∴∠FBE=∠FEB， ∴FB=FE． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的定义，直角三角形两个锐角互余等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确的识别图形． 2．在 中，AB＝AC，AD⊥BC，且∠BAC=120°．求∠B，∠C，∠BAD，∠CAD各是多少度． 【答案】30°；30°；60°；60°. 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B=∠C= （180°-∠BAC）= ×60°=30°，再由等腰三角形的性质三线合一即可得到结论． 【详解】解：∵AB=AC且∠BAC=120°， ∴∠B=∠C= （180°-∠BAC）= ×60°=30°， ∵AD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=60°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质得是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若∠CAD＝45°，求∠BAD的度数； （2）若点M在边AC上，MN AB交AD的延长线于点N．求证：AM＝MN． 【答案】（1）∠BAD＝45°；（2）见解析 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一得出 ，从而可得出答案； （2）首先根据平行线的性质得出 ，然后通过等量代换得出 ，最后利用等角对等边即可证明． 【详解】（1）∵AB＝AC，AD⊥BC， ． ∵∠CAD＝45°， ； （2）∵MN AB， ． ， ， ∴AM＝MN． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及判定，掌握等腰三角形三线合一是解题的关键． 4．（1）尺规作图：如图1，求作一点P，是点P到∠AOB的两边距离相等，且到M、N两点的距离也相等； （2）如图2，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB＝∠APD． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）作线段MN的垂直平分线EF，∠AOB的角平分线OT，OT交EF于点P，点P即为所求． （2）作点D关于AC的对称点D′，作直线BD交AC于点P，连接PD，点P即为所求． 【详解】解：（1）如图1中，点P即为所求． （2）如图2中，点P即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．如图，AD⊥BC于D，BD=AC+DC，若∠BAC=110°，求∠C的度数． 【答案】 【分析】过A作AE=AC交BC 于E ，并设∠C=x，则由等腰三角形的性质可以得到关于x的方程，解方程可以得到∠C的度数． 【详解】解：如图，以A为圆心，AC长为半径画弧，交BC于点E，连接AE， 则AE=AC，CD=DE，∠CAD=∠EAD，又BD=AC+DC，BD=BE+DE， ∴AE=AC=BE，∴∠B=∠BAE ∴令∠C=x，则∠CAD=90°-x，∠B=∠BAE=110°-2（90°-x）=110°-180°+2x=2x-70°， ∴由三角形内角和定理得：x+2（90°-x）+2（2x-70°）=180°，解得：x= ． 【点睛】本题考查三角形的应用，掌握等腰三角形三线合一的性质并灵活应用是解题关键． 6．如图，在 中， ，过点 做射线 ，且 ，点 从点 出发，沿射线 方向均匀运动，速度为 ；同时，点 从点 出发，沿 向点 匀速运动，速度为 ，当点 停止运动时，点 也停止运动．连接 ，设运动时间为 ．解答下列问题： （1）用含有 的代数式表示 和 的长度； （2）当 时，请说明 ； （3）设 的面积为 ，求 与 之间的关系式． 【答案】（1）CP=3t，BQ=8-t；（2）见解析；（3）S=16-2t． 【分析】（1）直接根据距离=速度 时间即可； （2）通过证明 ，得到∠PQC=∠BCQ，即可求证； （3）过点C作CM⊥AB，垂足为M，根据等腰直角三角形的性质得到CM=AM=4，即可求解． 【详解】 解：（1）CP=