2.1 第1课时 不等关系与不等式（课件）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）

第二章　§2.1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系. 2.初步学会作差法比较两实数的大小. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 知识点一　基本事实 依据 a>b⇔ . a＝b⇔ . a<b⇔ ________ 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的 与 __的大小 a－b>0 a－b＝0 a－b<0 差 0 思考　x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见.你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小吗？ 答案　作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x. 知识点二　重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2 2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. ≥ 预习小测 自我检验 YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN 1.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系________. 解析　“限重40吨”是不超过40吨的意思. T≤40 2.雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高.设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是_____________. 解析　由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000. 4.5t<28 000 3.若x<0，则x－2与2x－2的大小关系是_____________. 解析　因为x－2－(2x－2)＝－x>0， 所以x－2>2x－2. x－2>2x－2 4.a2＋1与a的大小关系为_________. a2＋1>a 所以a2＋1>a. 2 题型探究 PART TWO 例1　(1)一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写出不等式为______________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来 行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为__________. 一、用不等式(组)表示不等关系 解析　由题意知，汽车原来每天行驶x km,8天内它的行程超过2 200 km，则8(x＋19)>2 200. 若每天行驶的路程比原来少12 km，则原来行驶8天的路程就要用9天多， 8(x＋19)>2 200 (2)某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组). 解　设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆， 反思感悟 (1)将不等关系表示成不等式(组)的思路 ①读懂题意，找准不等式所联系的量. ②用适当的不等号连接. ③多个不等关系用不等式组表示. (2)常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 >  <  ≥ ≤ 跟踪训练1　用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于96 m2，靠墙的一边长为x m.试用不等式(组)表示其中的不等关系. 解　由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0<x≤18， 解　∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2) ＝a2(a－b)＋b2(b－a) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b). 当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2. 综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2. 例2　已知a，b均为正实数.试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小. 二、作差法比较大小 解　(a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3 ＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3) ＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2). ∵a>0，b>0，∴(a－b)2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0. ∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3. 延伸探究 1.若a>0，b>0，则比较a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小. 解　若a>0，b>0，n>r，n，r∈N*， 则an＋bn≥arbn－r＋an－rbr. 2.对于an＋bn，你能有一个更具一般