2.3 第2课时 一元二次不等式的应用（课件）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）

第二章　§2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第2课时　一元二次不等式的应用 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程.了解一元二次不等 式的现实意义. 2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 知识点一　简单的分式不等式的解法 分式不等式的解法： 前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2. 知识点二　一元二次不等式恒成立问题 1.转化为一元二次不等式解集为R的情况，即 2.分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 知识点三　利用不等式解决实际问题的一般步骤 1.选取合适的字母表示题目中的未知数. 2.由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组). 3.求解所列出的不等式(组). 4.结合题目的实际意义确定答案. 思考　解一元二次不等式应用题的关键是什么？ 答案　解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解. 预习小测 自我检验 YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN {x|1<x<2} 解析　原不等式⇔(x－1)(x－2)<0，∴1<x<2. {x|x≥1或x<0} ∴x≥1或x<0. 3.若方程x2＋ax＋1＝0的解集是∅，则实数a的取值范围是__________. 解析　由题意可得a2－4<0，所以－2<a<2. －2<a<2 4.对∀x∈R，不等式x2＋2x＋m>0恒成立，则实数m的取值范围是______. 解析　由题意可得22－4m<0，所以m>1. m>1 2 题型探究 PART TWO 一、简单的分式不等式的解法 解　原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0， 故原不等式的解集为{x|x<－2}. 反思感悟 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解. 解这个不等式组，可得x≤－1或x>3. 即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}. 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0， 解得－1<x<1. 所以，原不等式的解集为{x|－1<x<1}. 二、不等式的恒成立问题 例2　对∀x∈R，不等式mx2－mx－1<0，求m的取值范围. 解　若m＝0，显然－1<0恒成立； 综上，m的取值范围为{m|－4<m≤0}. 延伸探究 1.在本例中，是否存在m∈R，使得∀x∈R，不等式mx2－mx－1>0，若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由. 解　显然m＝0时不等式不成立； 所以不存在m∈R，使得∀x∈R，不等式mx2－mx－1>0. 2.在本例中，把条件“∀x∈R”改为“x∈{x|2≤x≤3}”，其余不变，求m的取值范围. 解　由不等式mx2－mx－1<0得m(x2－x)<1， 因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>0， 反思感悟 一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号. (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值. 跟踪训练2　若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是_____________. 解析　当k＝1时，－1<0恒成立； {k|－3<k≤1} 因此实数k的取值范围为{k|－3<k≤1}. 三、一元二次不等式的实际应用 例3　某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率，为10个百分点)，计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点. (1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式； 解　降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担， 收购总金额为200a(1＋2x%)万元. 依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝ a(100＋2x)(10－x)(0<x<10). (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围. 解　原计划税收为200a×10%＝20a(万元). 化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2. 又因为0<x<10，所以0<x≤2. 即x的取值范围为{x|0<x≤2}. 反思感悟 解不等式应用题的步骤 跟踪训练3　某农家院有客房20