2.2 基本不等式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修一同步讲义

2.2 基本不等式 SHAPE \* MERGEFORMAT 1、两类平均数 两个正数的算术平均数与几何平均数．设a，b是任意两个正数，称eq \f(a＋b,2)为a，b的算术平均数；称eq \r(ab)为a，b的几何平均数． 如：1和9的算术平均数是5，而1和9的几何平均数是3． 2、重要不等式 设a，b∈R，∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0， ∴a2＋b2≥2ab. 当且仅当a＝b时，等号成立． 3、基本不等式 设a，b是任意两个正数，那么eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2). 当且仅当a＝b时，等号成立．基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 如果把eq \f(a＋b,2)看做是正数a，b的等差中项，eq \r(ab)看做是正数a，b的等比中项，那么基本不等式也可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 基本不等式的几何意义是“半径不小于半弦”． 4、基本不等式的应用 已知x，y都是正数， (1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P)； (2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2． 题型一　基本不等式求解 f(12,x) 例 1 若x＞0，求f(x)＝＋3x的最小值 ∵x＞0，由基本不等式得 f(x)＝eq \f(12,x)＋3x≥2eq \r(\f(12,x)·3x)＝2eq \r(36)＝12. 当且仅当3x＝eq \f(12,x)，即x＝2时， f(x)取最小值12. 1、函数 的最小值为__________． 【答案】 2、若 ，则 的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 题型二　构造基本不等式 f(4,x－2) 例 2 已知x＞2，求x＋的最小值． ∵x＞2，∴x－2＞0， ∴x＋eq \f(4,x－2)＝x－2＋eq \f(4,x－2)＋2≥ 2eq \r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6. 当且仅当x－2＝eq \f(4,x－2)， 即x＝4时，等号成立． 所以x＋eq \f(4,x－2)的最小值为6. 1、若 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2、若 ，求 的最小值. 【答案】3 题型三　“1”的妙用 例 3 已知正数满足 ,则 的最小值是______