3.1.2　函数的表示法-2020-2021学年高一数学卓越同步讲义（新教材人教A版必修第一册）

3.1.2　函数的表示法 一、知识点归纳 知识点1.函数的表示法 1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系． 2．由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y. 知识点2.　分段函数 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 1.分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． 2．分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝其“段”是不等长的． 知识点3.三种表示方法的优缺点比较 优点 缺点 解析法 一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过用解析式求出任意一个自变量所对应的函数值 不够形象、直观，而且并不是所有的函数都可以用解析式表示 列表法 不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系 图象法 直观形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图象研究函数的某些性质 只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大 二、题型分析 题型一 　函数表示法 【例1】已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式t＝ax＋.当x＝2时，t＝100；当x＝14时，t＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人． (1)写出函数t的解析式； (2)用列表法表示此函数； (3)画出函数t的图象． 【解析】(1)由题设条件知，当x＝2时，t＝100，当x＝14时，t＝28，列出方程组解得 所以t＝x＋.又因为x≤20，x为正整数， 所以函数的定义域是{x|0＜x≤20，x∈N*}． (2)x＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共取20个值，列表如下： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t 197 100 68.3 53 44.2 38.7 35 32.5 30.8 29.6 x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t 28.8 28.3 28.1 28 28.1 28.25 28.5 28.9 29.3 29.8 注：表中的部分数据是近似值． (3)函数t的图象是由20个点组成的一个点列，如图所示． 【规律方法总结】函数的三种表示法的选择和应用的注意点 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 在用三种方法表示函数时要注意： (1)解析法必须注明函数的定义域； (2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系； (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．　　 【变式1】. 某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　) 【答案】D 【解析】：由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0. 题型二 函数图象的作法及应用 【例2】作出下列函数的图象，并指出其值域． (1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)； (2)y＝(－2≤x≤1，且x≠0)． 【解析】(1)用描点法可以作出所求函数的图象如图①所示．由图可知y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域为. (2)用描点法可以作出函数的图象如图②所示． 由图可知y＝(－2≤x≤1，且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 【规律方法总结】描点法作函数图象的三个关注点 (1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图． (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象． (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈． 【提醒】函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等． 【变式2】．已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是________，值域是________． 【答案】：[－3,3]　[－2,2] 【解析】：结合图象，知函数f(x)的定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]． 题型三　函数解析式的求法 【例3】求下列函数的解析式： (1)已知函数f(＋1)＝x＋2，求f(x)； (2)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x＋2