考点14 三角恒等变换-备战2021年浙江新高考数学一轮复习考点帮

考点14 三角恒等变换 【命题解读】 1.记住三角恒等变换常用公式； 2．能够利用三角函数公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明． 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式. 【命题预测】 1. 考查利用同角三角函数的基本关系和两角和的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题； 2．考查两角和与差的正弦公式，考查诱导公式及同角间的三角函数关系，化简变形求值是解题的基本方法； 3.考查三角函数的综合应用和解三角形，要灵活运用三角函数的基本性质、恒等变换； 4.主要以选择填空题为主，解答题也会与正余弦定理结合考查，预计2021年高考中，仍会对本节内容进行重点考查. 【复习建议】 一、两角和与差的三角函数公式 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）： （2）： （3）： （4）： （5）： （6）： 2．二倍角公式 （1）： （2）： （3）： 3．公式的常用变形 （1）； （2）降幂公式：；； （3）升幂公式：；；； （4）辅助角公式：，其中， 二、简单的三角恒等变换 1．降幂公式与半角公式 2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式） （1）积化和差公式： ； ； ； . （2）和差化积公式： ； ； ； . 考向一 三角恒等式的化简与证明 三角恒等变换是指依据三角函数的有关公式、定理，对三角函数式进行某种变形的过程，凡三角问题几乎都要通过三角恒等变换来解决.具体步骤如下： 1发现差异——观察角、名、形三方面的差异； 2寻找联系——根据式子的结构特征，找出差异间的联系； 3合理转化——选取恰当的公式，进行恒等变形，促使差异转化. 典例1 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 先利用诱导公式转化为，再分子分母同乘，利用二倍角的正弦公式求解. 【详解】 . 故答案为： 【点睛】 本题主要考查二倍角公式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题. 考向二 三角恒等变换的应用 解题技巧： 讨论三角函数的性质一般要把三角函数化为y＝Asinωx＋φ，y＝Acosωx＋φ，y＝Atanωx＋φ的形式才能进行讨论. 典例1 若关于的方程有意义，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】 先根据辅助角公式，由正弦函数的性质，求出，推出，求解即可得出结果. 【详解】 ，则，即，即，解得，故． 故答案为：. 【点睛】 本题考查分式不等式的解法，考查正弦函数的性质，以及辅助角公式，属于常考题型． 考向三 利用“齐次式”求值 方法指导： 题目中出现正切值，或者求正切值，可化简为“齐次式”求解,弦化切思想应用于以下两方面： （1）弦的分式齐次式：当分式是关于角弦的次分式齐次式，分子分母同时除以，可以将分式由弦化为切； （2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角的二次整式，然后除以化为弦的二次分式齐次式，并在分子分母中同时除以可以实现弦化切． 典例1 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据三角函数的基本关系式和倍角公式，化简为“齐次式”，代入即可求解. 【详解】 因为，可得 【点睛】 本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及正弦与余弦的倍角公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的倍角公式和基本关系式，化简为“齐次式”求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 考向四 辅助角公式的应用 辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a，b)同象限；②tanφ＝(或sinφ＝，cosφ＝)． 典例1 函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________． [答案]　π　[＋kπ，＋kπ](k∈Z) [解析]　 由题意知，f(x)＝sin2x＋(1－cos2x)＋1＝sin＋，所以最小正周期T＝π. 令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故单调递减区间为(k∈Z)． 题组一 基础过关 1．已知，若是方程的两根，则（ ） A．或 B． C． D． 2．已知0<α<<β<π，又sin α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β＝( )． A．0 B．0或 C． D．0或－ 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 4．已知锐角满足，则（ ） A． B． C． D． 5.已知向量，且，则的值为（　　） A．1 B．2 C． D．3 6.已知，则（ ） A．的最大值是 B．在区间上是增函数 C．的图象关于直线对称 D．在内有4个极值点 7.已知，，则＝______. 8.已知，且，则_________. 题组二 能力提升 1．若，则（ ） A． B． C． D． 2.若，则____