考点10 变化率与导数、导数的计算-备战2021年浙江新高考数学一轮复习考点帮

考点10 变化率与导数、导数的计算 【命题解读】 1. 了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义． 2．能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝，y＝x2的导数． 3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数. 【命题预测】 1. 导数的概念及几何意义是热点问题，难度不大，经常与函数结合，通过求导研究函数的性质． 2．导数几何意义的应用是热点问题，难度较大，题型大多是根据导数的几何意义求参数值或参数的取值范围，以及与切线有关的计算、证明问题. 3.预计2021年高考中，仍会对本节内容进行重点考查. 【复习建议】 一、导数的概念 一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即. 【注】函数在处的导数是在处的瞬时变化率. 二、导数的几何意义 函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即. 三、基本初等函数的导数公式 函数 导数 f (x)=C(C为常数) = f (x)=sin x f (x)=cos x f (x)=ln x 四、导数的运算法则 （1）. （2）. （3）. 五、曲线的切线的求法： 若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解． （1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y−y0=f ′(x0)(x−x0)； （2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f (x1))； 第二步：写出过P′(x1，f (x1))的切线方程为y−f (x1)=f ′ (x1)(x−x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y−f (x1)=f ′(x1)(x−x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程． 考向一 导数的计算 1、导数计算的原则和方法 （1）原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． （2）方法： ①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； ②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； ⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导. 2．求复合函数的导数的关键环节和方法步骤 （1）关键环节： ①中间变量的选择应是基本函数结构； ②正确分析出复合过程； ③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； ④善于把一部分表达式作为一个整体； ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数. （2）方法步骤： ①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量； ②求每一层基本初等函数的导数； ③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.. 典例1 求下列函数的导数 （1）y＝； （2）y＝3xex－2x＋e. 【解析】 （1）y′＝′＝＝＝. (2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2. 考向二 导数的几何意义 解题技巧：导数几何意义的应用类型及求解思路 (1)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可． (2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k. (3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢． 典例1 函数y＝ex＋x＋1在点(0，2)处的切线方程是(　　) A.y＝－2x＋2 B.y＝2x＋2 C.y＝－x＋2 D.y＝x＋2 解析　 函数y＝ex＋x＋1的导数为y′＝ex＋1， 可得在点(0，2)处的切线的斜率为k＝2， 所求切线方程为y＝2x＋2. 答案　B 典例2 设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为__________． 【答案】(1,1) 【解析】由y′＝ex，知曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k1＝e0＝1. 设P(m，n)，又y＝(x>0)的导数y′＝－，曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－. 依题意k1k2＝－1，所以m＝1，从而n＝1， 则点P的坐标为(1,1)． 题组一 基础过关 1．已知函数f(x)＝，则函数在x＝－1处的切线方程是(　　) A.2x－y＋1＝0 B.x－2y＋2＝0 C.2x－y－1＝0 D.x＋2y－2＝0 2．已知函数在处的导数