第10讲幂与指数-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册讲义（简单，学生版+教师版）

幂与指数 知识讲解 一、指数运算 1.根式的概念： ①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根．即若， 则称的次方根， 1） 当为奇数时，次方根记作； 2） 当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作． ②性质：1）； 2）当为奇数时，； 3）当为偶数时，． 2.幂的有关概念 ①规定：1）N*； N 个 2）； 3）Q，4）、N* 且． ②性质：1）、Q）； 2）、 Q）； 3） Q）． 注：上述性质对均适用． 典型例题　 一、单选题 1．下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根式化简及零指数意义. 【详解】 对于A，，当为负数时等式不成立，故A不正确； 对于B，，当时无意义，故B不正确； 对于C，，左边为正，右边为负，故C不正确； 对于D，，故D正确. 故选：D. 【点睛】 根式化简注意根指数的奇偶性. 2．化简的结果为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 先将根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算即可得解. 【详解】 解：由， 故选B. 【点睛】 本题考查了根式与分数指数幂的互化，重点考查了分数指数幂的运算，属基础题. 3．的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用根式与分数指数幂的互化公式求解即可 【详解】 解：， 故选：A 【点睛】 此题考查根式的化简求值，考查根式与分数指数幂的互化，属于基础题. 4．若，则（ ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先由求出，然后可求出的值. 【详解】 解：因为，所以， 则， 故选：D 【点睛】 此题考查指数幂和根式的运算，属于基础题. 5．已知，将表示成分数指数幂，其结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由根式与分数指数幂的互化规则，将所给的根式化简，即可将其表示成分数指数幂，得解. 【详解】 解：因为， 故选C. 【点睛】 本题考查了根式与分数指数幂的互化，重点考查了分数指数幂的运算，属基础题. 6．设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y的值为(　　) A．18 B．21 C．24 D．27 【答案】D 【解析】 【分析】 根据指数幂的运算法则，可得到x＝3y＋3和x－9＝2y，解之即可得到结果. 【详解】 因为2x＝8y＋1＝23(y＋1)，所以x＝3y＋3， 因为9y＝3x－9＝32y，所以x－9＝2y， 解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27. 所以本题选D. 【点睛】 本题考查指数幂运算，熟记运算公式是基础，需要基本的运算能力，属基础题. 7．的值是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据指数运算性质，化简 ，再根据幂的运算化简即可． 【详解】 化简式子得 所以选A 【点睛】 本题考查了分数指数幂的化简求值，主要依据幂的运算法则，属于基础题． 二、填空题 8．计算：（）0+_____． 【答案】 【解析】 【分析】 根据根式、指数和对数运算化简所求表达式. 【详解】 依题意，原式. 故答案为： 【点睛】 本小题主要考查根式、指数和对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 9．的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 将根式用指数幂表示,即可得到答案. 【详解】 故答案为:. 【点睛】 本题考查了根式与分数指数幂的转化与化简,属于基础题. 10．若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】 先将根式化为分数指数幂，可得：， 再计算出，，再结合分数指数幂的运算性质运算即可得解. 【详解】 解：因为， 所以，所以，． 所以． 故答案为. 【点睛】 本题考查了根式与分数指数幂的互化及分数指数幂的运算，重点考查了运算能力，属基础题. 11．化简：______. 【答案】 【解析】 【分析】 将根式化为指数幂的形式，根据指数幂运算法则求得结果. 【详解】 故答案为 【点睛】 本题考查根式与指数幂运算的互化、指数幂运算法则的应用，属于基础题. 12．计算：化简的结果是____________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用指数运算的性质化简即可. 【详解】 . 故答案为. 【点睛】 本题主要考查了指数的运算性质，属于基础题. 三、解答题 13．（1）化简； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用根式的性质可得出结果； （2）在等式两边平方可求出的值. 【详解】 （1）原式； （2）在等式两边平方得，. 【点睛】 本题考查根式的性质，同时也考查了指数的运算，考查计算