考点07 对数与对数函数-备战2021年浙江新高考数学一轮复习考点帮

考点06 对数与对数函数 【命题解读】 1.理解对数的概念及其运算性质； 2.了解对数换底公式,知道一般对数可以转化成自然对数或常用对数； 3.对数函数的性质及其应用； 4.会求对数型函数的定义域、值域 及单调性。 【命题预测】 1.对数和对数函数是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必有一个对数和对数函数问题的5分小题。从题型上看是选择题或填空题，难度为中，低档。纵观各种考试试卷，归结起来对数和对数函数问题主要包括： ①对数的运算； ②对数函数概念的理解与运用； ③对数函数图像的理解与运用； ④对数函数性质的理解与运用； ⑤对数函数的综合问题； ⑥对数方程或不等式的解法。 4.预计2021年高考中，仍会对对数函数的图像和性质进行重点考查,复习时应引起高度重视. 【复习建议】 一、对数的概念 1、 对数的定义 一般的，如果(且)的次幂等于，即，那么叫作以为底的对数， 记作 读作：以为底的对数等于，其中，叫做对数的底数，叫作真数. 2、 对数恒等式 （1）； （2）； （3） 3、常用对数与自然对数 （1）底数的对数，叫作常用对数 ，简记为 （2）底数（是一个无理数，）的对数，叫作自然对数 ，简记为 二、对数运算性质 如果那么 ；；. 三、换底公式及其推导 logbN＝(a，b＞0，a，b≠1，N＞0) 证明：设，则，两边取以a为底的对数，得 x,即 四、对数函数及其性质 1、对数函数的概念： 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 2、对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 3、反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称. 考向一 比较大小问题 常用方法： 1、 指对数函数的单调性； 2、 借助中间值：0和1等. 典例1 已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用和进行分段，比较出三者的大小关系. 【详解】 ，， 而，所以. 故选：B 【点睛】 本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题. 典例2 已知在上是减函数，若，，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 先比较，，的大小关系，然后根据函数在上是减函数，即可判断的大小关系. 【详解】 根据对数函数的单调性可知：，由 ，所以，两边同时取对数可得，即，所以，因为在上是减函数，所以，所以. 故选：B 【点睛】 本题主要考查函数的单调性，解题的关键是会根据基本初等函数的单调性判断自变量的大小关系. 考向二 含对数不等式的解法 1、 根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行等价转化，结合对数不等式的解法进行求解即可； 2、 数形结合法； 3、 分段函数要进行分类讨论。 典例1 定义在上的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行等价转化，结合对数不等式的解法进行求解即可. 【详解】 ∵偶函数在上是减函数，且， ∴在上是增函数，且， 即，得或，得或， 即不等式的解集为，故选：D. 【点睛】 本题主要考查了通过函数的奇偶性和单调性解抽象函数的不等式，属于中档题. 典例2 定义在上的函数满足：，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 先考虑当时不等式的解集，再根据图象的对称性可得时不等式的解集，从而得到正确的选项. 【详解】 当时，的解为或，解得， 因为，故的图象关于直线对称， 故当时，的解为， 所以的解集为：. 故选：C. 【点睛】 本题考查函数图象的对称性、分段函数构成的不等式的解，后者一般有两类处理方法：（1）根据范围分类讨论；（2）画出分段函数的图象，数形结合解决与分段函数有关的不等式或方程等，本题属于中档题. 考向三 对数函数的图像和性质 典例1 已知函数满足，则函数的图象大致为（ ） A． B．C．D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知求出，得表达式，化简函数式后根据定义域和单调性可得正确选项． 【详解】 由恬