考点06 指数与指数函数-备战2021年浙江新高考数学一轮复习考点帮

考点06 二次函数与幂函数 【命题解读】 1.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 【命题预测】 1. 直接考查指数函数的图象及其性质或以指数与指数函数为知识载体. 2. 考查指数幂的运算和函数图象的应用或以指数函数为载体与函数方程、不等式等内容交汇命题． 3.分类讨论的思想也是本节的重点学习内容.高考中,可能以选择题、填空题的形式出现,也可能与方程、不等式等知识结合在解答题中出现. 4.预计2021年高考中，仍会对指数函数的图像和性质进行重点考查,复习时应引起高度重视. 【复习建议】 一、有理数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 二、指数函数及其性质 1．指数函数的概念 函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． 说明：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数． 2．指数函数的图象和性质 底数 a>1 0<a<1 图 象 性 质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 考向一 比较大小与解不等式 方法技巧 比较指数式的大小的方法有： ①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； ②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小. 典例1 下列各式比较大小正确的是(　　) A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62 C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1 【解析】 【详解】 A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，错误； B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，正确；C中，∵(0.8)－1＝1.25， ∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． ∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误； D中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1，错误． 【点睛】 本题考查指数函数的简单性质，属基础题. 考向二 指数函数图像的变换 指数的运算以及函数的“平移变换“，属于中档题. 函数图像的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图像经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序. 典例1 已知0<a<1，b<－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　y＝ax＋b的图象如图．由图象可知，y＝ax＋b的图象必定不经过第一象限． 典例2 函数的图象大致为（ ） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 【分析】 函数图象是由函数图象向左平移1个单位，做出函数的图象，即可求解. 【详解】 作出函数的图象，如下图所示， 将的图象向左平移个单位得到图象. 故选：B 【点睛】 本题考查函数图象的识别、指数函数图象，运用函数图象平移变换是解题关键，属于基础题. 考向三 指数幂的运算 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一． 典例1 化简：(a>0，b>0)． 解　 原式＝＝a＋－1＋·b1＋－2－＝ab－1＝. 典例2 已知a－＝3(a>0)，求a2＋a＋a－2＋a－1的值． 解　∵a－＝3， ∴a2＋＝2＋2·a·＝9＋2＝11， 而2＝a2＋＋2＝13， ∴a＋＝，∴a2＋a＋a－2＋a－1＝11＋. 考向四 含参数指数函数问题 典例1 若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据解析式及满足的不等式，可知函数是上的增函数，由分段函数单调性的性质，结合指数函数