1.3.2 球的体积和表面积-2020-2021学年高一数学课时同步练（人教A版必修2）

第一章 空间几何体 1.3.2球的体积和表面积 班级：________________ 姓名：________________ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知球的半径为1，、为球上的任意两点，则、两点的球面距离的最大值为　　 A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】球的半径为1，、两点的球面距离的最大值大圆周长的一半， 所以． 故选B． 2．设地球的半径为，在纬度为的纬线圈上有，两地，若这两地的纬线圈上的弧长为，则，两地之间的球面距离为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】纬度为弧度的纬度圈上两点、， 设纬度圈半径为，． 又这两地的纬线圈上的弧长为，． 过、两点的大圆被、截下的劣弧占总周长的， 、两点间的球面距离为． 故选D． 3．定义1分的地球球心角所对的地球大圆弧长为1海里．在北纬圈上有甲、乙两地，甲地位于东经，乙位于西经，则甲乙两地在球面上的最短距离为　　 A．5400海里 B．2700海里 C．4800海里 D．3600海里 【答案】D 【解析】地球表面上从甲地（北纬，东经到乙地（北纬，西经 甲、乙两地对应点的纬圆半径是， 经度差是， ， 是等边三角形，球心角是， 甲、乙两地的球面距离是， 定义1分的地球球心角所对的地球大圆弧长为1海里，而对应， 即甲乙两地在球面上的最短距离为3600海里． 故选D． 4．设地球的半径为，地球上，两地都在北纬的纬度线上去，且其经度差为，则，两地的球面距离是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设在北纬的纬圆的圆心为，球心为， 连结、、、、，则平面 中，，同理， 、两地经度差为， ，中， 由此可得是边长为的等边三角形，得 、两地的球面距离是． 故选C． 5．水平桌面上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）．在这4个球的上面放1个半径为的小球，它和下面4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面的距离是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】水平桌面上放有4个半径均为的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）． 在这4个球的上面放1个半径为的小球，它和下面4个球恰好都相切，5个球心组成一个正四棱锥， 这个正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，求得它的高为， 所以小球的球心到水平桌面的距离是． 故选B． 6．设地球半径为，则北纬圈上某点到南极的球面距离为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设地球的球心是点0，点是北纬圈上一点， 点是赤道上一点，点对应南极点，如图所示 则 即、两点的球心角为， 、两点的球面距离为 即北纬圈上的点到南极的球面距离为 故选C． 7．位于北纬度的、两地经度相差，且、两地间的球面距离为为地球半径），那么等于　　 A．30 B．45 C．60 D．75 【答案】B 【解析】根据题意画出示意图，如图． 、两地间的球面距离为为地球半径）， ， 在三角形中，， 、两地经度相差， ，在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ， 即、两地位于北纬度，． 故选B． 8．棱长为2的正方体的顶点都在一个球的球面上，则该球的体积为　　 （注：球的体积，其中为球的半径） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正方体的对角线为其外接球的直径可得，解得， 所以外接球的体积， 故选C． 9．已知，，，是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面ABC，，则该球的表面积为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知是边长为6的等边三角形，所以，的外接圆直径为， 平面，所以，该球的直径为，， 因此，该球的表面积为． 故选C． 10．三棱锥中，为等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】三棱锥中，为等边三角形，，， ，，两两相互垂直． 设三棱锥的外接球的半径为． 则，可得． 三棱锥的外接球的表面积． 故选D． 11．已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且，，若是点在平面BCD内的正投影，且，则球的体积是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以由三角形全等可得， 即是的外心， 即是斜边的中点， 则球心在上， 由勾股定理可得，得， 设球的半径为，则， 所以． 所以球的体积为， 故选B． 12．已知正方体的棱长为2．它的8个顶点都在一个球面上，则此球的表面积是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上， 球半径， 球的表面积． 故选B． 13．已知正方形ABCD的边长为4，CD边的中点为，现将，分别沿AE，BE折起，使得，两点重合为一点记为，则四面体外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意如图所示由题意得：，，， 面，设底面