专题3.2 直线的方程-2020-2021学年高一数学同步课堂帮帮帮（人教版必修2）

第三章 直线与方程 3.2 直线的方程 一、直线的点斜式方程 1．直线的点斜式方程的定义 已知直线l经过点，且斜率为k，则直线l的方程为__________． 这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的__________，简称__________． 当直线l的倾斜角为0°时（如图1），，即k=0，这时直线l与x轴平行或重合，l的方程就是，或． 当直线l的倾斜角为90°时（如图2），直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．因为这时l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，或． 深度剖析 （1）当直线的斜率存在时，才能用直线的点斜式方程． （2）当取任意实数时，方程表示过定点的无数条直线． 2．直线的点斜式方程的推导 如图，设点是直线l上不同于点的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得 （1），即 （2）． 注意：方程（1）与方程（2）的差异：点的坐标不满足方程（1），但满足方程（2），因此，点不在方程（1）表示的图形上，而在方程（2）表示的图形上，方程（1）不能称为直线l的方程． 上述过程可以证明直线上每个点的坐标都是方程（2）的解．对上面的过程逆推，可以证明以方程（2）的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点，斜率为k的直线l的方程． 二、直线的斜截式方程 1．直线的斜截式方程的定义 我们把直线l与y轴交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的__________． 如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为，即__________叫做直线的__________，简称__________． 当b=0时，表示过原点的直线；当k=0且b≠0时，表示与x轴平行的直线；当k=0且b=0时，表示与x轴重合的直线． 深度剖析 （1）纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、零或负数． 纵截距也可能不存在，比如当直线与y轴平行时． （2）由于有些直线没有斜率，即有些直线在y轴上没有截距，所以并非所有直线都可以用斜截式表示． 2．直线的斜截式方程的推导 已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为k，求直线l的方程．这个问题相当于给出了直线上一点及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的一种特殊情况，代入点斜式方程可得，即． 三、直线的两点式方程 1．直线的两点式方程的定义 已知直线过两点，当