考点05 二次函数与幂函数-备战2021年浙江新高考数学一轮复习考点帮

考点05 二次函数与幂函数 【命题解读】 （1）了解幂函数的概念.掌握幂函数的图象和性质. （2）了解幂函数的变化特征. （3）能将一些简单的实际问题转化为二次函数或幂函数问题，并给予解决. 【命题预测】 1．幂函数主要考查其图象和性质,一般以小题形式出现，难度应该不大. 2．二次函数主要考查其图象和性质以及应用,特别是以二次函数为载体;考查数学相关知识,如求最值、函数零点问题,考查数形结合思想. 3．预计2021年高考试题中，二次函数仍是考查的重点之一.考查仍会集中在二次函数的图象以及主要性质上，求二次函数的最值、二次函数零点分布问题，复习时应引起高度重视. 【复习建议】 一、二次函数 1．二次函数的概念 形如的函数叫做二次函数. 2．表示形式 (1)一般式：f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0). (2)顶点式：f(x)=a(x−h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标. (3)两根式：f(x)=a(x−x1)(x−x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标. 3．二次函数的图象与性质 函数解析式 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称性 函数图象关于直线对称 顶点坐标 奇偶性 当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数. 在上是增函数； 在上是减函数. 最值 当时， 当时， 4．常用结论 (1)函数f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c=0的实根. (2)若x1，x2为f(x)=0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1−x2|=. (3)当且()时，恒有f(x)>0()；当且()时，恒有f(x)<0(). 二、幂函数 1．幂函数的概念 一般地，形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x为自变量，α为常数. 2．几个常见幂函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 过定点 过定点 过定点 3．常用结论 (1)幂函数在上都有定义. (2)幂函数的图象均过定点. (3)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递增. (4)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减. (5)幂函数在第四象限无图象. 考向一 求二次函数的解析式 求二次函数解析式的方法 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式．一般选择规律如下： 典例1 若函数（常数，）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式__________． 【答案】 【解析】∵函数是偶函数， ∴，即， ∴或， 又∵函数的值域为， ∴，． 故该函数的解析式． 故答案为：. 【名师点睛】本题主要考查函数的解析式的求法和函数的性质的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 考向二 幂函数的图象与性质 1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查： ①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立． ②幂函数的指数与图象特征的关系 当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下： α α>1 0<α<1 α<0 图象 特殊点 过(0，0)，(1，1) 过(0，0)，(1，1) 过(1，1) 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增 递增 递减 举例 y=x2 、 2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧： 结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较. 典例1 如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知，相应曲线对应的值依次为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线对应的值依次为． 故选B． 典例2 设，则的大小关系是 A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 【答案】A 【解析】因为在上是增函数，所以又因为在上是减函数，所以. 【名师点睛】同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性；同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性，有时需要取中间量. 考向三 二次函数的图象与性质 高考对二次函数图