期中综合复习-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册期中复习（学生版+教师版）

例题解析 例1已知全集为R，集合A＝{x|y＝lg x＋}，B＝. (1)当a＝0时，求(∁R A)∩B； (2)若A∪B＝B，求实数a的取值范围． 【解析】　(1)由已知得A＝{x|0<x≤2}， 当a＝0时，B＝ ＝{x|－2<x≤3}， 所以∁R A＝{x|x≤0或x>2}， 所以(∁R A)∩B＝{x|x≤0或x>2}∩{x|－2<x≤3} ＝{x|－2<x≤0或2<x≤3}． (2)若A∪B＝B，则A⊆B， 又B＝ ＝{x|－2<x－a≤3} ＝{x|a－2<x≤a＋3}， 故解得－1≤a≤2， 故实数a的取值范围为[－1,2]． 例2 计算下列各式的值： (1) －(－9.6)0－＋－2； (2)log3＋lg 25＋lg 4＋7. 【解析】　(1)原式＝－1－＋－2 ＝－1－2＋2 ＝－1＝. (2)原式＝log3＋lg(25×4)＋2 ＝log33＋lg 102＋2 ＝－＋2＋2＝. 例3已知函数f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域． 【解析】　首先求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域，有 则 所以1≤x≤3， 即函数的定义域为[1,3]． 又y＝[f(x)]2＋f(x2) ＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2 ＝(log3x)2＋6log3x＋6， 令t＝log3 x，由x∈[1,3]知：t∈[0,1]， 所以y＝t2＋6t＋6＝(t＋3)2－3， 该函数在t∈[0,1]上递增， 所以当t＝0，即x＝1时ymin＝6； 当t＝1，即x＝3时ymax＝13. 故函数的值域为[6,13]． 例4（1）已知，求的最大值 （2）已知，求的最小值； （3）已知，求的最大值； （4）求函数的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 （1），则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，当时，求的最大值为. （2）∵，∴，∴． 当且仅当，即时取等号，． （3）∵，∴，∴． 当且仅当，即时取等号，． （4）． ∵，∴，∴． 当且仅当，即时取等号，． 例5已知指数函数y＝g(x)满足：g(3)＝8，定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求y＝g(x)与y＝f(x)的解析式； (2)判断y＝f(x)在R上的单调性并用单调性定义证明． 【解析】　(1)设g(x)＝ax(a>0，a≠1)， 由g(3)＝8得a＝2，故g(x)＝2x， 由题意f(x)＝＝， 因为f(x)是R上的奇函数， 所以f(0)＝0，得n＝1. 所以f(x)＝， 又由f(1)＝－f(－1)知m＝1， 所以f(x)＝. (2)f(x)是R上的单调减函数． 证明：设x1∈R，x2∈R且x1<x2， 因为y＝2x为R上的单调增函数且x1<x2，故2<2， 又1＋2>0,1＋2>0， 故f(x1)－f(x2)>0， 所以f(x)是R上的单调减函数． 随堂检测 1．设U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是(　　) A．A⊆B　　　　　　B．A∩B＝{2} C．A∪B＝{1,2,3,4,5} D．A∩(∁U B)＝{1} 【解析】　A显然错误；A∩B＝{2,3}，B错；A∪B＝{1,2,3,4}，C错，故选D. 【答案】　D 2．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则log2f(2)的值为(　　) A. B．－ C．2 D．－2 【解析】　设f(x)＝xα，则＝α，所以α＝，f(2)＝2，所以log2f(2)＝log22＝. 【答案】　A 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝－x2 C．y＝ D．y＝x|x| 【解析】　对于A，是增函数，但不是奇函数；对于B，是偶函数，在区间(－∞，0]上是增函数，在区间(0，＋∞)上是减函数；对于C，是奇函数，在区间(－∞，0)上是减函数，在区间(0，＋∞)上是减函数；对于D，既是奇函数，又是增函数． 【答案】　D 4．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 【解析】　因为f(－2)＝－6<0，f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，f(1)＝5>0，f(2)＝10>0， 所以f(x)在区间(－1,0)上存在零点． 【答案】　B 5．设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则(∁R M)∩N等于(　　) A．{x|x<－2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<1} D．{x|－2≤x<1} 【解析】　由题意可知∁R M＝{x|x<－2或x>2}，故(∁R M)∩N＝{x|x<－2}． 【答案】　A