第19讲 函数与方程的转换（应用）-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册知识点提升训练（学生版+教师版）

高一秋季同步数学讲义 “函数与方程的转换（应用）” 知识定位 函数和方程是数学学科中两个极为重要的概念。 在学习函数和方程的过程中， 既要掌握它们各自的概念和方法，也要了解函数和方程二者的联系。 函数和方程的联系主要在于函数和方程可以互相转换，函数转换成方程可以求解函数的零点问题； 方程转换成函数可以求解方程的根问题。 函数和方程的转换这个知识点在各类考试中的考察是屡见不鲜的: 直接的考察类型以填空和选择为主； 间接的考察则分布在函数和方程的各类题型中。 分值所占的比重大概在5%~10%之间。 知识梳理 函数与方程的转换的知识点主要在于两方面。 一方面， 函数转换为方程： ①函数的零点问题： 已知函数y=f(x), 如果方程f(x)=0有n个根， 那么函数f(x)有n个零点。 ②函数的交点问题： 已知函数f(x)和g(x)， 如果方程f(x)=g(x)有n个根， 那么函数f(x)和g(x)有n个交点。 另一方面，方程转换为函数： ①方程根的个数问题：已经方程f(x)=0， 如果函数y=f(x)与x轴有n个交点（有n个零点）， 那么方程有n个实数根。 ②方程根的范围：已知方程f(x)=0， 如果函数y=f(x)的图像是平滑的曲线， 并且有f(a)f(b)<0， 那么方程在(a,b)之间必有一根。 例题精讲 【题目1】 函数 【选项】 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】 B 【解析】 首先，这道题考察的是函数的零点问题，那么我们可以把它转化成方程 的根的个数问题。 经过化简： 左边是对数函数的绝对值， 右边是指数函数，无法直接得到方程的解。因此， 我们再次把方程问题转化成函数问题， 方程解的个数等于左右两个函数的图像交点的个数， 所以我们分别作出两个函数的图像如图所示： 这里， 绝对值函数的图像只要将x轴下方图像向上翻折即可得到。 由图可知， 两函数交点个数为2个， 因此题目的答案为B。 【知识点】函数与方程的转换（应用） 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【题目2】 已知函数有3个零点， 则a的取值范围是( )。 【答案】 （0.75，1） 【解析】 首先，这是函数零点的一个问题， 函数是分段函数， 我们把它转化成方程问题， 即：f(x)=0有3个不同的实数根。 针对分段函数，我们一般采取的办法是分段讨论。 根据初步的估计，我们可以看到一段是一次函数，另一段是一次函数或者是二次函数。由于方程有3个不同实根，因此第一段一定是二次函数， 。 我们得到初步结论：方程在第一段内有两个不同实数根， 在第二段有一个实数根。 对于第二段， 由于x>0， 则有a>0。 对于第一段，由于a>0， 且两根都在(-2,0]范围内， 由二次函数的性质知且有 即 综上我们得到a的取值范围是(0.75,1)。 【知识点】函数与方程的转换（应用） 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【题目3】函数在（-1， 1）内存在一个零点，则a的取值范围为（ ） 【选项】A. a<1/3 B. 1/3<a<1 C. a<1/3或a>1 D. a>1 【答案】B 【解析】 这里由于函数具有单调性， 并且只有一个零点， 所以可以采取二分法。 【知识点】函数与方程的转换（应用） 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2 【题目4】若函数f(x)的图像是连续不断的， 且f(0)>0， f(1)f(2)f(4)<0， 则下列命题正确的是（ ） 【选项】 A. f(x)在（0， 1）内有零点 B. f(x)在（0， 2）内有零点 C. f(x)在（0， 3）内有零点 D. f(x)在（0， 4）内有零点 【答案】D 【解析】由f(1)f(2)f(4)<0知， f(1), f(2), f(4)三者至少有一个是负数， 且只有两种情况：只有一个负数；三个全是负数。这两种情况都表明， f(x)在（0， 4）内一定有零点。 【知识点】函数与方程的转换 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2 【题目5】已知函数f(x)=(a-x)(x-b)-3, m,n是方程的f(x)=0的两个实数根， 其中a<b, m<n, 则实数a,b,m,n的大小关系是（ ） 【选项】 A． a<m<b<n B． m<a<n<b C． m<a<b<n D． a<m<n<b 【答案】D 【解析】 【知识点】函数与方程的转换（应用） 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2 习题演练 【题目1】函数f(x)=3x-7+lnx的零点位于区间(n,n+1)（n是正整数）内， 则n=( ) 【答案】2 【解析】首先， 函数f(x)是一个增函数，因此函数只有一个零点，由于零点位于（n,n+1）内，必有f(n)<0, f(n+1)