第18讲 函数的周期性（提高）-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册知识点提升训练（学生版+教师版）

高一秋季同步数学讲义 “函数的周期性（提高）” 知识定位 高中的知识里，对于周期的运用无处不在，往往周期性是解题的突破口。需要对这个知识点有较高程度的理解。 知识梳理 函数的周期性 1．设有函数，如果存在一个非零常数，使得取定义域内的任何值时，总成立，那么就把函数叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期． 若在函数的所有周期内存在一个最小的正数，那么这个最小的正数 称为函数的最小正周期． 2．有关周期的定义，我们应注意以下几点： (1)周期函数的定义域必须是无限延伸的（定义域D至少有一端无界）(可能有间断点)，否则不全存在． (2)如果是函数的一个周期，那么都是的周期． (3)一个函数是周期函数，可以没有正周期，也可以没有负周期，有正周期时，它并不一定有最小正周期，如 容易发现，任何正的有理数都是D()的周期，所以D()没有最小正周期． 这个函数称之为“狄利克莱函数”，在高等数学中经常出现． (4)一般说来，函数的周期一般是指最小正周期． 例题精讲 【题目1】设在区间上的奇函数，，求 【答案】0 【解析】因为是奇函数，所以， ，所以是以6为周期的函数。而，又，，所以故 【知识点】函数的周期性（提高） 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【题目2】设在区间上的奇函数，对任意，都有，求的值 【答案】0 【解析】因为为奇函数，而，所以，，所以，所以=0 【知识点】函数的周期性（提高） 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3 【题目3】设在区间上的奇函数，对任意，都有，求的值 【答案】-2 【解析】因为，所以，所以是以4为周期的函数，所以，而，又，所以，故。 【知识点】函数的周期性（提高） 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【题目4】已知偶函数是以4为周期的函数，且在区间[0，2]上有且只有一个根，则在[0，2011]上所有根的和为 【答案】10062 【解析】由题意，知函数的图象关于轴对称，其周期为4，在[0，2]上有一根。由知，在[2，4]上必有一个根，…，在区间上的两个根分别为，故在[0，2003]上所有根的和为1+3+5+……+2011=10062 【知识点】函数的周期性（提高） 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3 习题演练 【题目1】已知，，，…，，则（ ）. A. B. C. D.3 【答案】A 【解析】由，知，，. 为迭代周期函数，故，， 【知识点】函数的周期性（提高） 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【题目2】设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，f (x) = －x，则f (8.6 ) = _______ 【答案】0.3 【解析】∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴； 又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3 【知识点】函数的周期性（提高） 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【题目3】已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（ ） A.0 B. C.1 D. 【答案】A 【解析】令，则；令，则 由得，构造函数，由，所以 【知识点】函数的周期性（提高） 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【题目4】设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式 【解析】设 时，有 是以2 为周期的函数， 【知识点】函数的周期性（提高） 【适用场合】课后两周练习 【难度系数】4 【题目5】已知函数对任意实数,都有f(x＋m)＝－,求证:4m是f(x)的一个周期. 【解析】证明：由已知f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m] 于是f(x＋4m)＝－＝f(x) 所以f(x)是以4m为周期的周期函数. 【知识点】函数的周期性（提高） 【适用场合】课后一个月练习 【难度系数】3 【题目6】设是定义在上的函数，若 ，且对任意，满足，，则= 【解析】应用周期函数:首先将不等关系转化为等式,利用不等式的传递性,先作变换: 令，则 ， ， 即， 故， 得是周期为2的周期函数， 所以 【知识点】函数的周期性（提高） 【适用场合】阶段测验 【难度系数】4 $$高一秋季同步数学讲义 “函数的周期性（提高）” 知识定位 高中的知识里，对于周期的运用无处不在，往往周期性是解题的突破口。需要对这个知识点有较高程度的理解。 知识梳理 函数的周期性 1．设有函数，如果存在一个非零常数，