第17讲 函数的单调性（定义法、图象法、性质法）（应用）-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册知识点提升训练（学生版+教师版）

高一秋季同步数学讲义 “函数的单调性（定义法、图象法、性质法）（应用）” 知识定位 这一部分知识一般是综合题中最基本的组成部分，先有正确的判断才会有后面一系列顺利的解题，所以相当重要。 知识梳理 函数的单调性 1．函数的单调性 我们把自变量在定义域中逐渐增加时，函数值逐渐增加(或减小)的性质叫做函数的单调性． 对于某个区间上的自变量的任意两个值当时，都有，则函数在这个区间上是增函数。这个区间叫做函数的单调增区间． 对于某个区间上的自变量的任意两个值当时，都有 则函数在这个区间上是减函数，这个区间叫做函数的单调减区间． 2．常见函数单调性的判断 有关单调函数，我们还可以证明以下一些重要结论： (1)若函数y=f(x)和y=g(x)在公共区间A内都是增(减)函数，则函数y=f(x)+g(x)在A内是增(减)函数． (2)若两个正值函数y=f(x)和y=g(x)在公共区间A内都是增(减)函数，则函数y=f(x)•g(x)在区间A内也是增(减)函数． (3)若两个负值函数y=f(x)和y=g(x)在公共区间A内都是增(减)函数，则函数y=f(x)•g(x)在区间A内是减(增)函数． 3．复合函数单调性的判断 设有函数y=f(u),及u=g(x),则我们称形如y=f[g(x)]的函数是复合函数，例如以看作是由和复合而成的复合函数，像这样的函数有很多，其中u=g(x)又称之为内层函数，y=f(u),称之为外层函数．有关复合函数的单调性，我们很容易证明以下结论(证明留给读者自己完成)(见下表)。 函 数 单 调 性 内层函数u＝g(x) ↗ ↗ ↘ ↘ 外层函数y＝f(u) ↗ ↘ ↗ ↘ 复合函数y＝f [g(x)] ↗ ↘ ↘ ↗ 简单说，上表可以用四个字概括：“同增异减”. 利用上表可以判断一些复合函数的单调性。 例题精讲 【题目1】证明函数在(0,+)上是减函数 【解析】设,是(0,+)上的任意两个实数，且<， 则－=－=, 由,∈(0,+ )，得,又由<,得－>0 ,于是－>0,即> 。 ∴在(0,+ )上是减函数. 【知识点】函数的单调性（定义法、图象法、性质法）（应用） 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【题目2】讨论函数在(-2,2)内的单调性 【解析】∵，对称轴 ∴若,则在(-2,2)内是增函数； 若则在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数 若,则在(-2,2)内是减函数 【知识点】函数的单调性（定义法、图象法、性质法）（应用） 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3 【题目3】求的单调递减区间 【答案】(―∞, ―3) 【解析】由，即函数的定义域为x∈(―∞, ―3)∪[1,+ ∞] 设，则在[0，+∞]上是增函数，只需要求出u的递减区间，并满足u≥0。 的单调减区间为(―∞, ―1)，所以的单调减区间为(―∞, ―3) 【知识点】函数的单调性（定义法、图象法、性质法）（应用） 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【题目4】函数f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（　 　） （A）（－∞,－1）　　（B）（－∞,1）　　（C）（1,＋∞）　　（D）（3, ＋∞） 【答案】A 【解析】由x2-2x-3＞0有x＜-1或x＞3，故函数log1/2(x2-2x-3)的定义域为x＜-1 或x＞3。二次函数u=x2-2x-3在（-∞，-1）内单调递减，在（3，+∞）内单调递增。而log1/2u在(0,+∞)上单调递减，所以log1/2(x2-2x-3)在(-∞,-1)单调递增，故选A。 【知识点】函数的单调性（定义法、图象法、性质法）（应用） 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3 【题目5】求函数的值域，并写出其单调区间 【解析】题设函数由和复合而成的复合函数， 函数的值域是， 在上的值域是. 故函数的值域是. 对于函数的单调性，不难知二次函数在区间上是减函数，在区间上是增函数； 二次函数区间上是减函数，在区间上是增函数 当时，，即，或. 当时，，即，. 因此，本题应在四个区间，，，上考虑 ① 当时，， 而在上是增函数，在上是增函数，所以，函数在区间上是增函数 ②当时，， 而在上是增函数，在上是减函数， 所以，函数在区间上是减函数 ③当时，， 而在上是减函数，在上是减函数， 所以，函数在区间上是增函数 ④当时，， 而在上是增函数，在上是减函数，所以，函数在区间上是减函数 综上所述，函数在区间、上是增函数；在区间、上是减函数 【知识点】函数的单调性（定义法、图象法、性质法）（应用） 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【题目6】已知是定义在上的减函数，若成立，则的取值范围是 【答案】或 【解析】在上定义，