第16讲 函数的奇偶性（应用）-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册知识点提升训练（学生版+教师版）

高一秋季同步数学讲义 “函数的奇偶性（应用）” 知识定位 函数的奇偶性在综合题中有相当多的应用，不仅要掌握基础的知识，而且要能灵活应用。在各个考试中，都可能是出题的考查重点之一。 知识梳理 函数奇偶性 1．偶函数 如果对于函数y=f(x)的定义域D内的任意实数x，都有f(―x)= f(x)，那么就把函数y=f(x)叫做偶函数。 并要向学生强调定义中的“定义域D中的任意实数x”一句话． 从偶函数的定义中，指出一个函数是偶函数的必要条件：定义域关于原点对称。 偶函数的图象的性质：偶函数的图象关于轴对称的性质 性质的证明要抓住四个要点：(1)a是y=f(x)定义域内的任意一个实数．(2)点A(a,f (a))，B(―a,f (―a))都是函数y=f(x)图象上的点． (3)因为f (―a)= f (a)，所以B点坐标也为（―a,f (a)）．(4)点（―a,f (a)）与(a,f (a))关于y轴对称． 2．奇函数 如果对于函数y=f(x)的定义域D内的任意实数x，都有f(―x)= ―f(x)，那么就把函数y=f(x)叫做奇函数。 由奇函数的定义得出奇函数的必要条件：定义域D关于原点对称。 3．关于奇偶函数的重要结论 (1) f(x),g(x)设为定义域是D1，D2的奇函数，那么在D1∩D2上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)•g(x)是偶函数，类似的有：奇士奇＝奇，奇奇＝偶(课后练习)，偶士偶＝偶，偶偶=偶，奇偶=奇． (2)函数是奇函数曲线y=f(x)关于原点对称，函数y=f(x)是偶函数曲线y=f(x)关于y轴对称． *(3)若y=f(x)是具有奇偶性的单调函数，则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是相同(反)的。 (4)对于复合函数F(x)= f[g(x)]，若g(x)为偶函数，则F(x)为偶函数；若g(x)为奇函数，f(x)为奇函数，则F(为奇函数；若g()为奇函数，为偶函 数，则F(x)为偶函数(自己证明)． (5) f(x)既是奇函数又是偶函数的充要条件是f(x)=0 (定义域关于原点对称)． (6)若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示成如下形式: 这个式子的特点是：右边是一个偶函数与一个奇函数的和 例题精讲 【题目1】求证：函数是偶函数。 【解析】函数的定义域是R，在R中任意取一个实数x，则有。 ， 所以，所以函数是偶函数。 【知识点】函数的奇偶性（应用） 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【题目2】求证：函数是奇函数 【解析】函数的定义域是R，在R中任意取一个实数x，则有。 ， 所以，所以函数是奇函数。 【知识点】函数的奇偶性（应用） 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2 【题目3】判断下列函数的奇偶性 ； 【解析】（1）函数的定义域为x+1≠0，即x∈(–∞,-1)∪(-1,+∞) ,定义域不关于原点对称，所以它是非奇非偶函数。 （2）函数的定义域为R，又对R上任意一个a，有 所以是奇函数。 （3）函数的定义域为下列不等式组的解 ， 而当–2≤x≤2时，∣x+3∣=x+3≠x, 所以函数的定义域为[-2，2]。 对于任意a∈[–2,2]有 又。 所以函数是偶函数。 【知识点】函数的奇偶性（应用） 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【题目4】判断下列函数的奇偶性 （2） 【解析】（1）函数的定义域是一切实数R， 1. 对于任意x>0,有-x<0,而f(-x)=-(-x)(2-x)=x(2-x)=f(x)； 1. 当x=0时，f（-0）=f(0)=0； 1. 对于任意x<0,有-x>0,而f(-x)=(-x)[2-(-x)]=-x(2+x)=f(x). 由①②③知 所以函数是偶函数。 （2）定义域为，所以是奇函数。 【知识点】函数的奇偶性（应用） 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3 【题目5】函数f(x)= （　　　） （A）是偶函数但不是奇函数　　　　　（B）是奇函数但不是偶函数 （C）既是偶函数又是奇函数　　　　　（D）既不是偶函数也不是奇函数 【答案】A 【解析】函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，当x≠0时，因为 f(-x)=(-x)/(1-2-x)-(-x)/2=(-x2x)/(2x-1)+(x/2)=(x+x(2x-1))/(1-2x)+(x/2)=(x/(1-2x))-x+(x/2)=(x/(1-2x))-(x/2)=f(x)，所以f(x)为偶函数，显然f(x)不是奇函数，故选A。 【知识点】函数的奇偶性（应用） 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【题目6】已知函数y=f(x)（x∈R）既是奇函数，又是偶函数，求y=f(x)（x∈R）的表达式。 【答案】y=f(x