专题05（2.3 基本不等式及其应用）新教材2020-2021学年高一数学必修一期末专项专练（沪教版2020）

专题05（2.3 基本不等式及其应用） 一、单选题 1．（2020·宝山·上海交大附中月考）已知，，若，则（ ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值 【答案】A 【分析】根据基本不等式的性质，即可求解有最小值，得到答案. 【详解】由题意，可知，，且， 因为，则，即， 所以， 当且仅当时，等号成立，取得最小值， 故选A． 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 2．（2019·上海虹口·上外附中高一月考）函数在上恒为正数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据底数是，在上恒为正数，故在上恒成立，进而解不等式就可以了． 【详解】解：由于底数是，从而在上恒为正数， 故在上恒成立， 即 由于，当且仅当即时取等号； 由对勾函数的性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增，且 所以． 故选：． 【点睛】本题主要考查对数型函数，一元二次函数值域问题，属于中档题． 3．（2018·上海市向明中学高一月考）下列三个函数中值域为的函数个数为（ ） （1） （2） （3） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解(1)即可;利用换元法以及函数单调性的定义即可求；利用换元法以及二次函数的性质即可求解(3) 【详解】(1) 由基本不等式可得：，当且仅当取等号 故函数的值域为 (2)令，则 即 令， 由于，则，，即 即，所以函数在 上单调递增 故 故函数的值域为 (3)令 所以 由于，则 故函数的值域为 故选B 【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，关键是利用基本不等式以及换元法来求解，属于中档题. 4．（2018·上海市金山中学高一期中）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释. A．如果，那么 B．如果，那么 C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立 D．对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【分析】可将直角三角形的两直角边长度取作，斜边为，可得外围的正方形的面积为，也就是，四个阴影面积之和刚好为，可得对任意正实数和，有，即可得出. 【详解】可将直角三角形的两直角边长度取作，斜边为， 则外围的正方形的面积为，也就是， 四个阴影面积之和刚好为，对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立，故选C. 【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，结合勾股定理，利用直角三角形的面积公式，得到其对应的关系，从而可以得到在什么情况下取得等号. 5．（2019·上海外国语大学附属大境中学高一期末）已知函数，若，设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的运算性质得到=,=，再根据均值不等式得到. 【详解】函数,=,=,故 =P=R 故. 故答案为D. 【点睛】这个题目考查了指数函数的运算性质，以及均值不等式的应用；在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 二、填空题 6．（2018·上海市新中高级中学）若不等式的解集为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由题意得知对任意的恒成立，然后利用绝对值三角不等式求出的最大值为，得出，解出该不等式即可. 【详解】由题意可知，不等式对任意的恒成立， 由绝对值三角不等式可得， 则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为. 【点睛】本题考查利用绝对值不等式的解集为空集求参数的取值范围，转化为绝对值不等式在实数集上恒成立是解题的关键，同时借助绝对值三角不等式求解，考查化归与转化思想，属于中等题. 7．（2018·上海市七宝中学高一月考）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是________； 【答案】 【分析】先根据绝对值三角不等式得最大值，再根据不等式有解条件确定结果. 【详解】因为， 又关于的不等式有解，所以 故答案为 【点睛】本题考查绝对值三角不等式以及不等式有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题. 8．（上海市金山中学高一期末）对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 ，所以 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 9．（2018·上海市三林中学高一期中）若关于的不等式解集