山东省烟台市2021届高三上学期期中考试数学试题（图片版）

1 2020-2022 学年度第一学期期中自主练习 高三数学参考答案及评分标准 一、单选题 C A B D A B C D 二、多选题 9.ABD 10. ACD 11.AB 12.ACD 三、填空题 13. 3 14. (0,1] 15. 1 3 { | } 2 2 x x  16. 12 四、解答题 17. 解：（1）因为 a b ，所以 0 a b ， …………………………1 分 故 3 1 cos sin 0 2 2 x x  ，所以 tan 3x  . ………………………2 分 （2）因为 a 在 b 上的投影向量长度为 1 2 ，所以 a 与 b 的夹角为 3  或 2 3  .………………3 分 当夹角为 3  时， 3 1 cos sin 12 2cos , | || | 1 1 2 x x       a b a b a b 所以 1 sin( ) 3 2 x    ，又 (0, ) 2 x   ，所以 ( , ) 3 6 3 x       ， 所以 3 6 x     ，即 6 x   …………………………………6 分 当夹角为 2 3  时， 3 1 cos sin 12 2cos , | || | 1 1 2 x x        a b a b a b 所以 1 sin( ) 3 2 x     ，又 ( , ) 3 6 3 x       ，所以 3 x   不存在. …………………9 分 综上：所以 x 的值为 6  .…………………………………10 分 18. 解：（1）由已知得： 1 100 10 ln 2 17.7 2 1 225 15 ln 3 25 2 a b a b             化简得： 1 51 , 25 25 a b   . …………………………………4 分 2 21 51 ln ( 10) 50 25 5 x y x x x      …………………………………5 分 则该景点改造升级后旅游增加利润为： 2 21 51 1 26 ( ) ln ln ( 10) 50 25 5 50 25 5 x x L x x x x x x x          …………………6 分 （2）由（1）得： 2 1 26 ( ) ln ( 10) 50 25 5 x L x x x x     则 2 1 26 1 26 25 ( 1)( 25) ( ) 25 25 25 25 x x x x L x x x x x              ……………………8 分 令 ( ) 0L x  得， 25x  当 (10, 25)x 时， ( ) 0L x  ， ( )L x 单调递增； 当 (25, )x  时， ( ) 0L x  ， ( )L x 单调递减； …………………………10 分 25x  时， ( )L x 取得最大值，且 max ( ) (25) 11.9L x L  ………………………11 分  当投入 25 万元时，旅游增加利润最大，最大利润为11.9 万元. ……………12 分 19. 解：若选①：因为 cos sina B b A c  ， 所以 sin cos sin sin sinA B B A C  sin( ) sin cos cos sinA B A B A B    ， …………………………3 分 所以 sin sin cos sinB A A B 因为 sin 0B  ，所以 sin cosA A ，所以 4 A   . …………………………6 分 因为 ABC 的外接圆半径为 2 ，所以 2 2 sin a A   ，所以 4 sin 2 2a A  ………8