2.3 等差数列的前n项和（知识讲解）-2020-2021学年高二数学基础知识专项讲练（人教A版必修5）

2.3 等差数列的前n项和（知识讲解） 一、基础知识 1、等差数列的前 项和公式1： 。 证明： ①， ②， ①+②： ， 又∵ ，∴ ，由此得 。 用此述公式要求 必须具备三个条件： 、 、 。 因此，只要题中出现以下三种情况，一般就是应用此公式。 (1)出现或可求通项公式 ；(2)出现两项或多项可求中项；(3)出现比值或求比值。 2、等差数列的前 项和公式2： 。 证明：把 代入公式1即得。 用此述公式要求 必须具备三个条件： ， ， 。 因此一般有公差 的公式才应用此公式。 3、奇数项及偶数项等差数列的前 项和 (1)若项数为奇数时： ；若项数为 ，则 ， ； (2)若项数为偶数时： (即这个数列的中间项的值)；若项数为 ，则 ， 。 4、公差为 的等差数列 的前 项和为 ，则数列 必是首项为 ，公差为 的等差数列。 5、等差数列中， 。 6、若 为等差数列，则 、 、 、…仍为等差数列，公差为 。 7、对等差数列前项和的最值问题有三种方法： (1)利用 ：①当 ， ，前 项和有最大值，可由 且 ，求得 的值； ②当 ， ，前 项和有最小值，可由 且 ，求得 的值。 注意：求 的最值时，当 时 取两个值。 (2)利用 ：由 利用二次函数配方法求得最值时 的值。 等差数列 的首项是 ，公差为 。若其前 项之和可以写成 ，则 ， ，当 时它表示二次函数，数列 的前 项和 是 成等差数列的充要条件。 (3)利用函数的单调性 8、与前 项和有关的三类问题 数列的通项公式和前 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 和 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。 (1)知三求二：已知 、 、 、 、 中任意三个，可求得其余两个，一般用方程解。 (2) 。 (3)利用二次函数的图像确定 的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值。应取 为正整数时的数值。 9、设元与解题的技巧 (1)已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…、 、 、 、 、 、…； (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…、 、 、 、 、…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元。 10、两个等差数列关系 (1)若两个等差数列 、 相加组成一个新数列 ，则 必为等差数列，公差为数列 、 的公差