第4讲初等函数复习-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册期中复习讲义（学生版+教师版）

初等函数复习 知识梳理 一、指数函数及其性质 1、指数函数的概念： 一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、 指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 定义域 R 定义域 R 值域y＞0 值域y＞0 在R上单调递增 在R上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 图象都过定点（0,1） 图象都过定点（0,1） （1）在[a，b]上，值域是或； （2）若，则；取遍所有正数当且仅当； （3）对于指数函数，总有； 二．对数函数的图象与性质 1、对数的定义 一般地，如果的次幂等于,即，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数. 2、对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过点(1,0) 当x＞1时，y＞0当0＜x＜1，y＜0 当x＞1时，y＜0当0＜x＜1时，y＞0 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 3、 幂函数 解析式，当a=1时，一次函数；当a=2时，二次函数；当a=-1时，反比例函数；当a=时，y=。幂函数只要求掌握a为某些特殊值的时候的图象即可。 幂函数性质的推广 (1)一般地,当a>0时,幂函数有下列性质: ①图象都通过点(0,0),(1,1); ②在第一象限内,函数值随x的增大而增大【也就是x>0单调递增咯】 ③在第一象限内,a>1时,图象是向下凹的;0<α<1时,图象是向上凸的; ④在第一象限内,过(1,1)点后,图象向右上方无限伸展. (2)当a<0时,幂函数有下列性质: ①图象都通过点(1,1) ②在第一象限内,函数值随x的增大而减小,图象是向下凹的;【也就是x>0单调递减咯】 ③在第一象限内,图象向上与y轴无限地接近,向右与x轴无限地接近; ④在第一象限内,过(1,1)点后,|a|越大,图象下落的速度越快. 例题解析 1．已知函数f（x）=， （1）若a=﹣1，求f（x）的单调区间； （2）若f（x）有最大值3，求a的值． （3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范围． 【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=， 令g（x）=﹣x2﹣4x+3， 由于g（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，+∞）上单调递减， 而y=t在R上单调递减， 所以f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上 单调递增， 即函数f（ x）的递增区间是（﹣2，+∞），递减区间是（﹣∞，﹣2 ）． （2）令h（x）=ax2﹣4x+3，y=h（x），由于f（x）有最大值3， 所以 h（x）应有最小值﹣1， 因此=﹣1， 解得a=1． 即当f（x）有最大值3时，a的值等于1． （3）由指数函数的性质知， 要使y=h（x）的值域为（0，+∞）． 应使h（x）=ax2﹣4x+3的值域为R， 因此只能有a=0． 因为若a≠0，则h（x）为二次函数，其值域不可能为R． 故 a的取值范围是{0}． 　 2．设f（x）=为奇函数，a为常数， （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）证明：f（x）在（1，+∞）内单调递增； （Ⅲ）若对于[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞+m恒成立，求实数m的取值范围． 【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）． ∴． 检验a=1（舍），∴a=﹣1． （2）由（1）知 证明：任取1＜x2＜x1，∴x1﹣1＞x2﹣1＞0 ∴ 即f（x1）＞f（x2）． ∴f（x）在（1，+∞）内单调递增． （3）对[3，4]于上的每一个x的值，不等式恒成立，即恒成立． 令．只需g（x）min＞m， 又易知在[3，4]上是增函数， ∴． ∴时原式恒成立． 　 3．已知函数f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3）（0＜a＜1） （1）求函数f（x）的定义域； （2）求函数f（x）的零点； （3）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值． 【解答】解：（1）要使函数有意义：则有，解之得：﹣3＜x＜1， 则函数的定义域为：（﹣3，1） （2）函数可化为f（x）=loga（1﹣x）（x+3）=loga（﹣x2﹣2x+3） 由f（x）=0，得﹣x2﹣2x+3=1， 即x2+2x﹣2=0， ∵，∴函数f（x）的零点是 （3）函数可化为： f（x）=loga（1﹣x）（x+3）=loga（﹣x2﹣2x+3）=loga[﹣（x+1）2+4] ∵﹣3＜x＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4， ∵0＜a＜1，∴loga[﹣（x+1）2+4]≥loga4， 即f（x）min=loga4，由loga4=﹣4，得a﹣4=4， ∴ 　 4． 已知函数f（x）= （1）当a=b=1时，