第3讲函数基本性质复习-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册期中复习讲义（学生版+教师版）

第1课时 进门测 1.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式． 13．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力． 　　f（x）＝x3＋2x2－1．因f（x）为奇函数，∴f（0）＝0． 　　当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝（－x）3＋2（－x）2－1＝－x3＋2x2－1， 　　∴f（x）＝x3－2x2＋1． 　　因此， 阶段知识点梳理 1. 函数的单调性 　　(1)增函数、减函数的概念 　　一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间 　　如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是增函数； 　　如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是减函数. 　　如果函数f(x)在区间M上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间M上具有单调性，M称为函数f(x)的单调区间. 　　要点诠释： 　　[1]“任意”和“都”； 　　[2]单调区间与定义域的关系----局部性质； 　　[3]单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； 　　[4]不能随意合并两个单调区间. 　　(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？ 　　基本方法：观察图形或依据定义. 2.函数的奇偶性 　　偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 　　奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 　　要点诠释： 　　[1]奇偶性是整体性质； 　　[2]x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； 　　[3]f(-x)=f(x)的等价形式为：， 　　 　f(-x)=-f(x)的等价形式为：； 　　[4]由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； 　　[5]若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0； 　　[6]函数f(x)为奇函数图像关于原点对称，函数f(x)为偶函数图像关于y轴对称 . 三、规律方法指导 1.证明函数单调性的步骤： 　(1)取值.设，是f(x)定义域内一个区间上的任意两个量，且； 　(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 　(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系； 　(4)得出结论. 2.函数单调性的判断方法： 　(1)定义法； 　(2)图象法； 　(3)对于复合函数，若在区间(a,b)上是单调函数，则在区间 (g(a),g(b))或者(g(b),g(a))上是单调函数；若与单调性相同（同时为增或同时为减），则为增函数；若与单调性相反，则为减函数. 3.常见结论: 　(1)若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数； 　(2)若f(x)和g(x)均为增（或减）函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增（或减)函数； 　　(3)若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数为增函数，为减函数； 　　　 若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数为减函数，为增函数. 　　(4)若奇函数f(x)在[a,b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[-b,-a]是增函数，且有最小值-M；若偶函数f(x)在是减函数，则f(x)在是增函数. 第2课时 同步知识点巩固 题型一 函数的单调性的证明 【例1】证明函数在上的单调性. 　　证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)， 令△x=x2-x1＞0 　　　　　 则 　　　　　 ∵x1＞0，x2＞0，∴ 　　　　　 ∴上式＜0，∴△y=f(x2)-f(x1)＜0 　　　　　 ∴在上递减. 　　总结升华： 　　[1]证明函数单调性要求使用定义； 　　[2]如何比较两个量的大小？(作差) 　　[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 【巩固练习】 1、用定义证明函数的区间（0，1]上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间（0，1]上的任意实数，且x1＜x2，则 　　　　　 　　　　　0＜x1＜x2≤1 ∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1 　　　　　 ∵0＜x1x2＜1 故，即f(x1)-f(x2)＞0 　　　　　 ∴x1＜x2时有f(x1)＞f(x2) 　　　　　 题型二 求函数的单调区间 【例2.】判断下列函数的单调区间； 　　(1)y=x2-3|x|+2； (2) 　　解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递增， 在上递减