第2讲不等式复习-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册期中复习讲义（学生版+教师版）

不等式 知识梳理 “三个二次”的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 例题解析 【例1】 热点一　不等式的解法 1．一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． 2．简单分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)． (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解． 【例1】设f(x)＝ 则不等式f(x)>2的解集为(　　) A．(1,2)∪(3，＋∞) B．(，＋∞) C．(1,2)∪(，＋∞) D．(1,2) 答案　C 解析　令2ex－1>2(x<2)，解得1<x<2. 令log3(x2－1)>2(x≥2)，解得x>，则不等式f(x)>2的解集为(1,2)∪(，＋∞)，故选C. 【例2】若关于x的不等式|x|＋|x＋a|<b的解集为(－2,1)，则实数对(a，b)＝______. 答案　(1,3) 解析　由题意知，－2,1是方程|x|＋|x＋a|＝b的两个根，则解得 所以实数对(a，b)＝(1,3)． 思维升华　(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化． (2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集． (3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论． 【例3】不等式≥0的解集是__________． 答案　{x|1<x≤5} 解析　原不等式化为≥0，即≤0， 等价于　解得1<x≤5， 即不等式≥0的解集是{x|1<x≤5}． 【例4】已知函数f(x)＝ln|x|，则f(x)>1的解集为________________． 答案　(－∞，－e)∪(e，＋∞) 解析　函数f(x)的解析式为f(x)＝ 当x>0时，解f(x)＝ln x>1，得x>e，即x的取值范围是(e，＋∞)；当x<0时，解f(x)＝ln(－x)>1， 得x<－e，即x的取值范围是(－∞，－e)． 综上可得f(x)>1的解集为(－∞，－e)∪(e，＋∞)． 热点二　基本不等式的应用 利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值)． 【例5】已知实数x>0，y>0且满足x＋y＝1，则＋的最小值为________． 答案　2＋2 解析　因为x＋y＝1， 所以＋＝＋ ＝2＋＋≥2＋2， 当且仅当 即x＝2－，y＝－1时等号成立． 【例6】已知a>b，且ab＝1，则的最小值是________． 答案　2 解析　＝ ＝a－b＋≥2， 当且仅当a－b＝时取得等号． 思维升华　在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号成立的条件)的条件，否则会出现错误． 【例7】已知a>1，b>1，且ab＋2＝2(a＋b)，则ab的最小值为________． 答案　6＋4 解析　因为ab＋2＝2(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时取等号． 所以(－2)2≥2. 因为a>1，b>1，所以≥2＋，ab≥6＋4. 即ab的最小值为6＋4. 【例8】已知正实数a，b满足a＋3b＝7，则＋的最小值为______． 答案　 解析　＋ ＝[(a＋1)＋3(2＋b)] ＝≥， 当且仅当＝时取等号． 热点三　绝对值不等式及其应用 1．绝对值不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c； |ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. (2)含绝对值的不等式的几种解法：公式法；零点分区间法；几何意义法；图象法． 2．绝对值三角不等式 (1)|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时等号成立． (2)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(