3.1 习题课 函数性质的综合应用-2020-2021新教材高一数学必修第一册【创新设计】同步学考笔记（人教B版）

习题课　函数性质的综合应用 题型一　函数的奇偶性与单调性的综合应用 角度1　利用函数的奇偶性、单调性比较大小 【例1－1】　已知函数f(x)在[－5，5]上是偶函数，且在[0，5]上是单调函数，若f(－4)<f(－2)，则下列不等式一定成立的是(　　) A.f(－1)<f(3) B.f(2)<f(3) C.f(－3)<f(5) D.f(1)<f(0) 解析　由题意可得，函数f(x)在[－5，0]上也是单调函数，再根据f(－4)<f(－2)，可得函数f(x)在[－5，0]上是单调增函数，结合函数f(x)是偶函数，故函数f(x)在[0，5]上是单调减函数，故f(0)>f(1). 答案　D[来源:学科网ZXXK] 角度2　利用函数的奇偶性、单调性解不等式 【例1－2】　奇函数f(x)是定义在(－1，1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范围. 解　原不等式化为f(m－1)<－f(3－2m). 因为f(x)是奇函数，所以f(m－1)<f(2m－3). 又f(x)是减函数， 所以m－1>2m－3，所以m<2. 又f(x)的定义域为(－1，1)， 所以－1<m－1<1且－1<3－2m<1， 所以0<m<2且1<m<2，所以1<m<2. 综上得1<m<2. 故实数m的取值范围是(1，2). 角度3　利用函数的奇偶性、单调性求最值 【例1－3】　已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2，0<x<1，,2x－3，x≥1，))若f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－4，－\f(1,4)))上的最大值为m，最小值为n，求m＋n. 解　如图，画出f(x)在(0，＋∞)上的图像， 由图知，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，4))时， f(x)的最小值为f(1)＝－1， 又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝2，f(4)＝5， 所以f(x)的最大值为f(4)＝5. 又f(x)为奇函数，所以当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－4，－\f(1,4)))时， f(x)的最大值为f(－1)＝－f(1)＝1， f(x)的最小值为f(－4)＝－f(4)＝－5. 所以m＝1，n＝－5，故m＋n＝1－5＝－4.[来源:学。科。网Z。X。X。K] 规律方法　函数单调性的实质是自变量的变化与函数变化的内在统一性，解答这类题目的思路是先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含“f”的式子，然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解，注意不要忘记考虑函数的定义域. 【训练1】　设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为(　　) A.(－1，0)∪(2，＋∞) B.(－∞，－2)∪(0，2) C.(－∞，－2)∪(2，＋∞) D.(－2，0)∪(0，2) 解析　利用函数的性质画出函数f(x)的简图如图， 所以不等式xf(x)<0可化为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,f（x）<0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,f（x）>0，)) 故图可知x>2或x<－2，故选C. 答案　C 题型二　抽象函数的性质应用 【例2】　函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1. (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)<3. (1)证明　设任意x1，x2∈R，且x1<x2， 则x2－x1>0，f(x2－x1)>1. ∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1) ＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1) ＝f(x2－x1)－1>0. ∴f(x2)>f(x1).故f(x)在R上是增函数. (2)解　∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5， ∴f(2)＝3. ∴原不等式可化为f(3m－2)<f(2). ∵f(x)在R上是增函数，∴3m－2<2，解得m<eq \f(4,3). 故不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,3))). 规律方法　判断抽象函数单调性的方法： (1)凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论； (2)赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试. 【训练2】　已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)对任意x，y∈(0，＋∞)，恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且当0<x<1时，f(x)>0，判断