2.1 数列的概念与简单表示法（知识讲解）-2020-2021学年高二数学基础知识专项讲练（人教A版必修5）

2.1 数列的概念与简单表示法（知识讲解） 一、基础知识 1、数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的每个数都叫这个数列的项。数列的一般形式： ， ， ，… ，…，或简记为 。 其中 是数列的第 项(又称首项)， 是数列的第 项(又称通项)。 2、通项公式的定义：如果数列 的第 项与 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。 说明：① 表示数列， 表示数列中的第 项， 表示数列的通项公式； ②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如， ( )； ③不是每个数列都有通项公式。例如： 、 、 、 、……。 3、数列的特性：(对比集合的特性)→数列是特殊的数集、点集。 (1)有序性：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列。 (2)可异性：定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现，如常数列。 (3)从函数角度看数列：数列可以看作是一个定义域为正整数集 (或它的有限子集 )的函数。 即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里说的函数是一种特殊函数，其特殊性为自变量只能取正整数，且只能从 开始依次增大。可以将序号作为横坐标，相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列，从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题。 4、数列的分类： (1)根据数列项数的多少分： ①有穷数列：项数有限的数列；例如数列 ， ， ， ， ， 。是有穷数列。 ②无穷数列：项数无限的数列；例如数列 ， ， ， ， ， …是无穷数列。 (2)根据数列项的大小分： ①递增数列：从第 项起，每一项都大于它的前一项的数列。 ②递减数列：从第 项起，每一项都小于它的前一项的数列。 ③常数数列：各项相等的数列。 ④摆动数列：从第 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。 (3)根据任何一项的绝对值是否小于某一正数可分为：①有界数列；②无界数列。 5、数列的表示方法 (1)列表法(又称列举法)。 (2)图像法：图像过一四象限或 轴正半轴，横坐标为正整数。是一系列孤立的点，不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性。 (3)解析法：