4.4.2 对数函数的图像与性质-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

知识梳理 .1.对数函数的图像和性质 定义 形如（且）的函数叫做对数函数 定义域 值域 图像 性质 奇偶性 非奇非偶函数 单调性 在上是增函数 上是减函数 范围 当时，； 当时， 当时，； 当时， 定点 2.对数型复合函数的单调性 复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数. 对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域． 3.数型复合函数的值域 对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下： (1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； (2)解f(x)>0，求出函数的定义域； (3)求u的取值范围； (4)利用y＝logau的单调性求解． 例题解析 题型一 函数的定义域、值域 　　求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用. 例1求下列函数的定义域： 　　(1)； (2). 　　思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域. 　　解：(1)因为x2>0，即x≠0，所以函数； 　　　　(2)因为4-x>0，即x<4，所以函数. [跟踪训练]1.求下列函数的定义域.　(1) y= (2) y=ln(ax-k·2x)(a>0且). 解：(1)因为， 所以， 　　　　　 所以函数的定义域为(1，)(，2). 　　　　(2)因为 ax-k·2x>0， 所以()x>k. 　　　　　 [1]当k≤0时，定义域为R； 　　　　　 [2]当k>0时， (i)若a>2，则函数定义域为(k，+∞)； (ii)若0<a<2，且a≠1，则函数定义域为(-∞，k)； (iii)若a=2，则当0<k<1时，函数定义域为R；当k≥1时，此时不能构成函数，否则定义域 为. [跟踪训练]2.函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域. 思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[，4]. 例2 求下列函数的值域： (1)y＝log2(x2＋4)； (2)y＝(3＋2x－x2)． (1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R. ∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2.∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}． (2)设u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4. ∵u>0，∴0<u≤4.又y＝u在(0，＋∞)上是减函数，∴u≥4＝－2， ∴y＝(3＋2x－x2)的值域为{y|y≥－2}． [跟踪训练]3 函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　 　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) A [解析]　∵3x＋1>1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增， ∴log2(3x＋1)>log21＝0，故该函数的值域为(0，＋∞)． 题型二　解对数不等式 注意：两类对数不等式的解法 (1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). (2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab. 例3 已知log0.3(3x)<log0.3(x＋1)，则x的取值范围为(　　) A. B. C. D. A 解析　因为函数y＝log0.3x是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价于解得x>. [跟踪训练]4 不等式log(2x＋3)<log(5x－6)的解集为(　　) A.(－∞，3) B. C. D. D 解析　由题意可得解得<x<3. 题型三　对数型复合函数的单调性 1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性． 2． 例4证明函数上是增函数. 　　思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法. 　　证明：设，且x1<x