4.4.1 对数函数的概念-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

知识梳理 1. 对数函数的概念 一般地，把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞) 2.对数函数的图像和性质 定义 形如（且）的函数叫做对数函数 定义域 值域 图像 性质 奇偶性 非奇非偶函数 单调性 在上是增函数 上是减函数 范围 当时，； 当时， 当时，； 当时， 定点 例题解析 题型一 对数函数的概念 注意：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x. 例1 指出下列函数哪些是对数函数？ (1)y＝3log2x；(2)y＝log6x； (3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1. (1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数． (2)符合对数函数的结构形式，是对数函数． (3)自变量在底数位置上，不是对数函数． (4)对数式log2x后又加1，不是对数函数． [跟踪训练]1（1）对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为 （2）若对数函数y＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为(　　) A．y＝log2x B．y＝2log4x C．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定 （1） y＝log2x [解析]　设对数函数为y＝logax，则4＝loga16，∴a4＝16， ∴a＝2，∴y＝log2x. （2）A [解析]　设对数函数的解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)，由题意可知loga4＝2， ∴a2＝4，∴a＝2. ∴该对数函数的解析式为y＝log2x. 题型二　对数型函数的定义域 注意：求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1. 例2　求下列函数的定义域. (1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)； (2)y＝log2(16－4x). 解　(1)由得－3<x<3， ∴函数的定义域是(－3,3). (2)由16－4x>0，得4x<16＝42， 由指数函数的单调性得x<2， ∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为(－∞，2). [跟踪训练]2 求下列函数的定义域． (1)y＝；(2)y＝； (3)y＝；(4)y＝log(x＋1)(2－x)． (1)定义域为(0，＋∞)． (2)由解得<x≤1，∴定义域为. (3)由解得<x≤，∴定义域为. (4)由解得－1<x<0或0<x<2，∴定义域为(－1,0)∪(0,2)． 题型三　比较对数值的大小 例3 比较下列各组中两个值的大小： (1)log31.9，log32； (2)log23，log0.32； (3)logaπ，loga3.14(a>0，a≠1). 解　(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log31.9<log32. (2)因为log23>log21＝0，log0.32<log0.31＝0，所以log23>log0.32. (3)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则有logaπ>loga3.14； 当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则有logaπ<loga3.14. 综上所得，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0<a<1时，logaπ<loga3.14. [跟踪训练]1下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)(　　) A.loga5.1<loga5.9 B.log2.1>log2.2 C.log1.1(a＋1)<log1.1a D.log32.9<log0.52.2 对于选项A，因为a和1大小的关系不确定，无法确定指数函数和对数函数的单调性，故A不成立；对于选项B，因为以为底的对数函数是减函数，所以成立；对于选项C，因为以1.1为底的对数函数是增函数，所以不成立；对于选项D，log32.9>0，log0.52.2<0，故不成立，故选B. 题型四 对数函数的图象 注意：(1)明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交． (2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1，还是0<a<1. (3)牢记特殊点．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和. 例4　画出函数y＝lg|x－1|的图象. 解　(1)先画出函数y＝lg x的图象(如图). (2)再画出函数y＝lg|x|的图象(如图). (3)