4.3 对数-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

知识梳理 1、对数的定义 一般地，如果的次幂等于,即，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数. 注：1)在定义中注意底数的取值; 2)在中，，由此可以知道负数和零没有对数； 2、常用对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，为了简便，的常用对数简记为. 例如 简记为 ，简记为 . 3、自然对数 在科学技术中常常使用无理数为底的对数，以为底的对数叫做自然对数，为了简便，的常用对数简记为. 4、 对数计算公式 （1）基本公式： （2） 运算性质： 如果且，，那么 1、； 积的对数 = 对数的和 2、； 商的对数=对数的差 3、． 一个数次方的对数=这个数对数的倍 4. *（3）公式延伸 1、 （换底公式） 2、 3、 例题解析 题型一　指数式与对数式的互化 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 例1　根据对数定义，将下列指数式写成对数式： ①3x＝；　　　　 ②x＝64； ③log16＝－； ④ln 10＝x. (1)①log3＝x；②log64＝x；③16＝；④ex＝10. [跟踪训练]1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)＝n；(4)lg 1000＝3. 解　(1)因为43＝64，所以log464＝3； (2)因为ln a＝b，所以eb＝a； (3)因为＝n，所以logn＝m； (4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000. 题型二　利用指数式与对数式的互化求变量的值 方法:①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题. ②利用幂的运算性质和指数的性质计算. 例2 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值. (1)log2x＝－；(2)logx25＝2；(3)log5x2＝2. 解　(1)由log2x＝－，得2－＝x，∴x＝. (2)由logx25＝2，得x2＝25.∵x＞0，且x≠1，∴x＝5. (3)由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，∴x＝5或x＝－5. [跟踪训练] 2 (1)求下列各式的值. ①log981＝________.②log0.41＝________.③ln e2＝________. (1)①2　②0　③2 解析　①设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2；②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0；③设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2. (2)求下列各式中x的值. ①log64x＝－；②logx8＝6； ③lg 100＝x；④－ln e2＝x. 解　①由log64x＝－得x＝64－＝43×(－)＝4－2＝； ②由logx8＝6，得x6＝8，又x>0，即x＝8＝23×＝； ③由lg 100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2； ④由－ln e2＝x，得ln e2＝－x，所以e－x＝e2，所以－x＝2，即x＝－2. 题型三　对数基本性质的应用 利用对数性质求值的方法： (1)性质 loga1＝0 logaa＝1 (a>0，且a≠1). (2)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值． 例3 求下列式子值。 (1)2log23＋2log31－3log77＋3ln 1＝________. (2)9＝________； (1) 0 解析　原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0. (2)4 解析 9＝(9)＝3＝4. [跟踪训练] 3化简求值　 (1)71－log75；(2)100； (3)alogab·logbc(a，b为不等于1的正数，c>0). 解　(1)原式＝7×7－log75＝＝. (2)原式＝100lg 9×100－lg 2＝10lg 9×＝9×＝9×＝. (3)原式＝(alogab)logbc＝blogbc＝c. 例4　求下列各式中的x的值． (1)log2(log3x)＝0； (2)log5(log2x)＝1； 解析　(1)因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝1，所以x＝3. (2)因为log5(log2x)＝1，所以log2x＝5，所以x＝25＝32. [跟踪训练] 4 [跟踪训练] 4　求下列各式中的x的值． (1)log8[log7(log2x)]＝0； (2)log2[log3(log2x)]＝1. 解