4.2.2 指数函数及其性质-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

知识梳理 1.图象位置关系 一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时， 图象的相对位置与底数大小有如下关系： (1)“底大图高”：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图. (2)指数函数y＝ax与y＝x(a＞0且a≠1)的图象关于 y轴对称. 2.比较大小 (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断； (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断. 3.解指数方程、不等式 (1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解. 4.指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域. (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反. 例题解析 解指数方程 例1　解方程． 　　解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），∴，∴，经检验原方程的解是． 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 函数图像变换及其应用问题 例2为了得到函数的图象，可以把函数的图象（　　）． 　　A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 　　B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 　　C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 　　D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 　　分析：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断． 　　解：∵，∴把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数 的图象，故选（C）． 　　评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等． 简单的指数不等式的解法 方法：(1)形如ax>ay的不等式：可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况讨论． (2)形如ax>b的不等式：注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解． 例3(1)不等式4x<42－3x的解集是________. （2） 若a－5x>ax＋7(a>0且a≠1)，求x的取值范围． （1） 解析　∵4x<42－3x，∴x<2－3x，∴x<. （2） 解 　①当a>1时，∵a－5x>ax＋7，且函数y＝ax为增函数，∴－5x>x＋7，解得x<－. ②当0<a<1时，∵a－5x>ax＋7，且函数y＝ax为减函数，∴－5x<x＋7，解得x>－. 综上所述，当a>1时，x的取值范围为.当0<a<1时，x的取值范围为. [跟踪训练]1 已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________. 解析　∵a2＋a＋2＝2＋>1，∴(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x⇔x>1－x⇔x>. ∴x∈. [跟踪训练]2关于x的方程7x+1-7x·a-a-5=0有负根，求a的取值范围. 思路解析：:由7x+1-7x·a-a-5=0得，a=， ∵x＜0，∴1＜7x+1＜2. ∴6＜＜12.∴-5＜a＜1. 答案：-5＜a＜1. 指数型函数的单调性 例4　(1)函数y＝ 的单调递减区间是(　　) A.(－∞，＋∞) B.(－∞，0) C.(0，＋∞) D.(－∞，0)和(0，＋∞) (2)已知函数f(x)＝x2－2x，判断函数f(x)的单调性；并求函数f(x)的值域． 1） D 解析　设u＝，则y＝3u，对任意的0<x1<x2，有u1>u2. 又因为y＝3u在R上是增函数，所以y1>y2，所以y＝在(0，＋∞)上是减函数. 对任意的x1<x2<0，有u1>u2，又因为y＝3u在R上是增函数，所以y1>y2，所以y＝在(－∞，0)上是减函数.所以函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞). （3） 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y＝u在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴y＝x2－2x在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， ∴y＝u，u∈[