4.2.1 指数函数的概念-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

知识梳理 1.指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. 特别提醒：(1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由： ①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值.因此规定y＝ax中a>0，且a≠1. （2）要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数.②指数函数的自变量必须位于指数的位置上.③ax的系数必须为1.④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 例题解析 题型一　指数函数的概念 判断一个函数是指数函数的方法 (1)形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征. (2)看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要一个特征不具备,则该函数不是指数函数. 例1　下列函数中是指数函数的是________.(填序号) ①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝x；④y＝ ；⑤y＝ . ③ 解析 ①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中指数不是x，故不是指数函数；⑤中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数，故填③. [跟踪训练] 1 （1）函数f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则m＝________. （2）若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝(　　) A.()x B.2x C. D. (1)解析∵函数f(x)＝(m2－m＋1)ax是指数函数，∴m2－m＋1＝1，解得m＝0或1. （2）A 解析　由题意，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(2)＝a2＝2，得a＝，所以f(x)＝()x. 题型二　指数函数图象 (1)指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点. (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性. 例2 (1) 函数f(x)＝ax＋1－2(a>0且a≠1)的图象恒过定点________. （1）解析令x＋1＝0，则x＝－1，f(－1)＝a0－2＝－1，则f(x)的图象恒过点(－1，－1). (2)已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝x＋1＋2的图象？并画出相应图象. （2）解　y＝x＋1＋2＝3－(x＋1)＋2. 作函数y＝3x的图象关于y轴的对称图象得函数y＝3－x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)＋2＝x＋1＋2的图象，如图所示. [跟踪训练] 2 (1)已知函数f(x)＝4＋ax＋1(a>0，且a≠1)的图象经过定点P，则点P的坐标是(　　) A. (－1,5) B.(－1,4) C.(0,4) D.(4,0) (1)A解析　当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，此时f(x)＝4＋1＝5.即点P的坐标为(－1,5). (2)函数y＝2|x|的图象是(　　) B 解析 y＝2|x|＝故选B. 题型三　指数型函数的定义域、值域 指数型函数y＝af(x)的定义域、值域的求法 (1)定义域：函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同. (2)值域：①换元，t＝f(x). ②求t＝f(x)的定义域为x∈D. ③求t＝f(x)的值域为t∈M. ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域. 例3　(1)函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A.(－3，0] B.(－3，1] C.(－∞，－3)∪(－3，0] D.(－∞，－3)∪(－3，1] (1) A 解析 由题意得自变量x应满足解得－3<x≤0. （2）当x∈[－2，2)时，y＝3－x－1的值域是(　　) A. B. C. D. A 解析　y＝3－x－1，x∈[－2，2)是减函数，∴3－2－1<y≤32－1，即－<y≤8. [跟踪训练] 3 求函数y＝4x－2x＋1的定义域、值域. 解　函数的定义域为R， y＝(2x)2－2x＋1＝2＋， ∵2x>0，∴当2x＝，即x＝