4.1 指数-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

知识梳理 根式的概念和运算法则 1．n次方根的定义： 若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根. n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为； n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为. 2．两个等式 （1）当且时，； （2） 要点诠释： ①要注意上述等式在形式上的联系与区别； ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： （1） （2） （3） 有理数指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算性质 (1) (2) (3) 当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释： (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； (2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如； (3)幂指数不能随便约分.如. 例题解析 例1利用分数指数幂和根式的转化求下列各式的值. ； （2） ； （3）； （4） . 【答案】（1）2；（2）27；（3）27；（4） 例2求下列各式的值. （1） ； （2） ； （3） ； （4）； （5） ； （6）. 【答案】（1）；（2）8；（3）；（4）；（5）2；（6） 例3用分数指数幂形式表示下列各式（式中）： （1）；（2）；（3）；（4）。 【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可。 （1） （2）； （3）； （4）===== 举一反三： 【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简 （1）； （2） 【答案】（1）； （2） 【变式2】把下列根式化成分数指数幂： （1）； （2）； （3）； （4） 【解析】（1）=； （2）； （3）； （4）== 例4.计算：（1）； （2）. 【解析】（1） =+- = =||+||-|| =+-（） =2 （2） = = = 举一反三： 【变式1】化简：（1）； 【答案】（1）； 例5.计算： (1)； (2) (3)。 【解析】(1)原式=； (2)原式=； (3)原式=-5+6+4--(3-)=2； 举一反三： 【变式1】计算下列各式： (1)；　　(2). 【解析】(1)原式=； (2)原式. 例6.化简 【解析】原式 . 举一反三： 【变式1】化简下列各式. （1）； （2）； （3）. 【解析】（1）原式； （2） （3） 例7．已知，求的值. 【解析】，， ， = = 举一反三： 【变式】已知，求及的值． 【解析】∵ ，∴ x＞0， 则， 则， ∵ ， 则， ∴ ， ∴ ． 反思总结 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算. 随堂检测 一、单选题 1．()4运算的结果是（ ） A．2 B．－2 C．±2 D．不确定 【答案】A 【解析】 由指数运算法则，容易得：()4=2. 故选：A. 2．是实数，则下列式子中可能没有意义的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由指数幂的运算性质，可得： 对于A中，式子中，实数的取值为，所以总有意义； 对于B中，式子中，实数的取值为，所以总有意义； 对于C中，式子中，实数的取值为，所以可能没有意义； 对于D中式子中，实数的取值为，所以总有意义. 故选：C. 3．已知x5＝6，则x等于（ ） A． B． C．－ D．± 【答案】B 【解析】 因为，故可得. 故选：B. 4．下列运算中计算结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 根据指数幂的乘法法则可知，故A选项错误； 根据指数幂的除法法则可知，故B选项错误； 根据指数幂的乘方法则可知，故C选项错误，