第15讲 对数函数的图像与性质（提高）-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册知识点提升训练（学生版+教师版）

高一秋季同步数学讲义 “对数函数的图像与性质（提高）” 知识定位 对数函数的定义： 函数 EMBED Equation.3 叫做对数函数(logarithmic function), 定义域是 思考：函数 与函数 EMBED Equation.3 的定义域、值域之间有什么关系？ 2. 对数函数的性质为 图 象 性 质 （1）定义域： （2）值域： （3）过点 ，即当 时， （4）在（0，+∞）上是增函数 （4）在 上是减函数 3. 对数函数的图象与指数函数的图象关于直线 对称 4.指数函数 EMBED Equation.DSMT4 与对数函数 EMBED Equation.DSMT4 称为互为反函数。 指数函数的定义域和值域分别是对数函数的值域和定义域。 知识诊断 例1：(★☆☆☆☆) 求下列函数的定义域 （1） ； （2） ； （3） （4） [分析]：此题主要利用对数函数 的定义域 求解。 （1）由 得 ， ∴函数的 定义域是 ； （2）由 得 ， ∴函数 EMBED Equation.DSMT4 的定义域是 （3） 得 或 ∴函数 的定义域是 （4）由 得 ∴ ，函数 的定义域是 例2：(★☆☆☆☆)利用对数函数的性质，比较下列各组数中两个数的大小： （1） ， ；　（2） ， ； （3） ， ； （4） ， ， 【解】（1）对数函数 在 上是增函数， 于是 EMBED Equation.DSMT4 ； （2）对数函数 在 上是减函数， 于是 EMBED Equation.DSMT4 ； （3）．∵ ， ， EMBED Equation.DSMT4 ； （4）∵ ， 而 ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 （1） 点评: 本例是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接进行比较时，可在两个对数中间插入一个已知数（如1 或0），间接比较上述两个对数的大小。 常见题型和方法解 例3．(★★☆☆☆)若 EMBED Equation.DSMT4 且 ，求 的取值范围 （2）已知 ，求 的取值范围； 【解】（1）当 时 在 上是单调增函数， EMBED Equation.DSMT4 当 时 在 上是单调减函数， EMBED Equation.DSMT4 综上所述： 的取值范围为 （2）当 ，即 时 由 ， 解得： ∴ 当 ，即 时 由 ， 解得： ，此时无解。 综上所述： 的取值范围为 点评:本题的关键是利用对数函数的单调性解不等式，一定要注意对数函数定义域。 例4：(★★☆☆☆) 说明下列函数的图像与对数函数 的图像的关系，并画出它们的示意图，由图像写出它的单调区间： (1) ； (2) ；　 (3) ；(4) 分析：由函数式出发分析它与 的关系，再由 的图象作出相应函数的图象。 【解】（1） EMBED Equation.DSMT4 图象（略） 由图象知：单调增区间为 ，单调减区间为 。 （2） EMBED Equation.DSMT4 由图象知：单调增区间为 ，单调减区间为 。 （3） EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 由图象知：单调减区间为 。 （4） EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 由图象知：单调减区间为 。 点评: （1）上述变换称为对称变换。一般地： ① ； ② ； ③ ； ④ 例5：(★★☆☆☆)求下列函数的定义域、值域： （1） ； （2） ； （3） （ 且 ）． 分析：这是复合函数的值域问题，复合函数的值域的求法是在定义域的基础上，利用函数的单调性，由内而外，逐层求解。 【解】（1）由 得 的定义域为 ，值域为 （2）由 得 ， EMBED Equation.DSMT4 的定义域为 由 ，令 ,则 ， EMBED Equation.DSMT4 的值域为 （3）由 得 ，即定义域为 设 则 当 时 在 上是单调增函数， EMBED Equation.DSMT4 的值域为 当 时 在 上是单调减函数， EMBED Equation.DSMT4 的值域为 点评: 求复合函数的值域一定要注意定义域。 综合习题拓展 例6：(★★★☆☆)已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)． (1)若f(x)定义域为R，求a的取值范围； (2)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； (3)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不